Определим линейные скорости звеньев манипулятора и найдем их значения аналитическим методом.

Для определения проекций векторов на оси координат записывают матричные уравнения:

(7)

(8)

- столбец координат точки D в системе

, (9)

- матрицы переноса соответственно от систем координат 1 к 0 и 2 к 1:

(10)

- матрицы поворота при переходе соответственно от систем координат 1 к 0 и 3 к 2.

Подставив (8)-(10) в (7), получим матрицы:

. (11)

 

Запишем модули соответствующих векторов

|OB|=0,5000 м; |BC|=0,5000 м; |CD|=0,1414 м.

Скорость точки В:

(12)

Так как угол между векторами равен нулю, то .

Для определения скорости точки С используется векторное уравнение

. (13)

Здесь , откуда получаем матрицу:

. (14)

В это уравнение входит векторное произведение которое, как и произведение любых двух векторов , описываемых матрицами:

(15)

в общем виде превращается в вектор с матрицей:

. (16)

Подставляя (2) и (11) в (16), получим матрицу-столбец вектора :

. (17)

Получим матрицу-столбец вектора :

(18)

а также его величину | |=0,5990 м/с.

Скорость точки D:

. (19)

Пользуясь зависимостями (6), (16) и (11), определяем матрицу-столбец вектора :

, (20)

а затем матрицу вектора как сумму матриц (18) и (20):

, (21)

а также его величину =0,5622 м/с.

 

4. Построим планы угловых и линейных скоростей (графический метод).

4.1 План угловых скоростей. Ось вращения первого звена относительно базовой системы координат совпадает с осью . Исходя из величины скорости равной по величине , примем масштаб:

.

Из полюса , являющегося началом системы координат плана угловых скоростей, проводим отрезок длиной 50 мм вдоль оси вращения (рис. 3). Скорость совпадает с , так как второе звено совершает поступательное движение. Результирующая скорость имеет две составляющие: и . Скорость известна и в соответствии с рис. 2, направлена под углом 30 градусов к оси X в плоскости . Из конца вектора проводим отрезок длиной 50 мм в указанном направлении. Соединяя точку полюса с концом построенного вектора , получим искомый вектор . Измеряя длины отрезков, можно получить значения искомых параметров и сравнить с аналитическим расчетом.

 

Рисунок 3 - План угловых скоростей

 

4.2 План линейных скоростей. Построение плана линейных (рис. 4) скоростей начинаем с определения полюса . Точки О и А не имеют линейных скоростей. Точка В принадлежит поступательному звену, однако лежит на линии вращения поступательного звена и потому равна нулю. Линейная скорость точки С, складывается из двух составляющих: относительной скорости движения второго звена относительно первого и произведения угловой скорости второго звена на проекцию этого звена в абсолютной системе координат.

В соответствии с рис. 2, вектор скорости направляется противоположно оси Х под углом в 30 градусов. Величина составляет 0,5 м/с (табл. 1). Принимаем масштаб плана скоростей:

.

Проводим отрезок, характеризующий , длиной 50 мм. Составляющая угловой скорости в , направлена перпендикулярно и равна произведению:

. (22)

Из конца , проводим отрезок длиной 20 мм и по правилу треугольника, достраиваем вектор .

Построение скорости точки D осуществляется путем сложения скорости точки С и . Относительная скорость , так как вид кинематической пары D – вращательная. На рис.4, скорость лежит в плоскости , так как движение второго звена осуществляется только относительно оси . Однако, имеет уже три составляющие и лежит в пространстве, образуя параллелепипед. Диагональ параллелепипеда лежит под углом 30 градусов к оси X и под углом 60 градусов к оси Z (в соответствии с рис. 2). Составляющая по оси Z, определяется длиной , а составляющие по осям Х и Y, обоими элементами составного звена. Соединение точки полюса плана с концом построенного вектора дает искомый вектор .

 

 

Рисунок 4 - План линейных скоростей

 

Анализируя план линейных скоростей, можно сказать, что линейная скорость точки D, в первую очередь определяется величиной скорости поступательного звена, а вращательные звенья манипулятора в таком случае выступают в качестве ориентирующих.

Варианты заданий

№ варианта	задание	№ варианта	задание
	2.1		8.3
	2.2		9.1
	2.3		9.2
	3.1		9.3
	3.2		10.1
	3.3		10.2
	4.1		10.3
	4.2		11.1
	4.3		11.2
	5.1		11.3
	5.2		12.1
	5.3		12.2
	6.1		12.3
	6.2		13.1
	6.3		13.2
	7.1		13.3
	7.2		14.1
	7.3		14.2
	8.1		14.3
	8.2		1.3

 

Пример варианта задания: 16 - 5.1. Вариант 16, схема 5, подвариант 1.

 

Схема 1

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5						0,2	0,2
	1,5				1,25	1,0			0,2	0,2
	0,75	0,25					0,2	0,2
		1,75						0,1	0,2
	1,75				1,4	0,5			0,1	0,2
	1,0	0,3					0,1	0,1
								0,1	0,1
	1,75				1,3	0,5			0,2	0,2
	1,2	0,5					0,1	0,1

 

Схема 2

 

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5						0,2	0,2
	1,5						0,2	0,2
	0,75	0,25			1,0	0,5			0,2	0,2
		1,75						0,1	0,2
	1,75						0,1	0,1
	1,0	0,3			1,0	0,5			0,1	0,2
								0,1	0,1
	1,75						0,1	0,1
	1,2	0,5			1,0	0,5			0,2	0,2

Схема 3

 

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5				1,0	0,5			0,2	0,2
	0,5						0,2	0,2
	1,5				1,0	0,5			0,2	0,2
	0,75	0,25					0,2	0,2
		1,75				1,25	0,75			0,1	0,2
	0,75						0,1	0,1
	1,75				1,25	0,75			0,1	0,2
	1,0	0,3					0,1	0,2
						1,6	1,0			0,1	0,1
	0,75						0,1	0,1
	1,75				1,25	1,0			0,2	0,2
	1,2	0,5					0,1	0,1

Схема 4

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
			Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5						0,2	0,2
	0,5				1,0	0,5			0,2	0,2
	1,5				1,0	0,5			0,2	0,2
	0,75	0,25					0,2	0,2
		1,75						0,1	0,1
	0,75				1,25	0,75			0,1	0,2
	1,75				1,25	0,75			0,1	0,2
	1,0	0,3					0,1	0,2
								0,1	0,1
	0,75				1,6	1,0			0,1	0,1
	1,75				1,25	1,0			0,2	0,2
	1,2	0,5					0,1	0,1

Схема 5

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
			Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5						0,1	0,2
	0,5						0,2	0,2
	1,5						0,2	0,2
	0,75	0,25			1,0	0,5			0,2	0,2
		1,75						0,1	0,2
	0,75						0,1	0,1
	1,75						0,1	0,2
	1,0	0,3			1,0	0,5			0,1	0,2
								0,1	0,1
	0,75						0,1	0,1
	1,75						0,2	0,2
	1,2	0,5			1,0	0,5			0,1	0,1

Схема 6

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
			Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5				2,0	0,5			0,2	0,2
	0,5						0,2	0,2
	1,5				1,0	0,5			0,2	0,2
	0,75	0,25					0,2	0,2
		1,75				2,25	0,75			0,1	0,2
	0,75						0,1	0,1
	1,75				1,25	0,75			0,1	0,2
	1,0	0,3					0,1	0,2
						1,6	1,0			0,1	0,1
	0,75						0,1	0,1
	1,75				1,25	1,0			0,2	0,2
	1,2	0,5					0,1	0,1

 

Схема 7

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5				2,0	0,5			0,2	0,2
	0,5						0,2	0,2
	1,5						0,2	0,2
	0,75	0,25			1,0	0,5			0,2	0,2
		1,75				2,25	0,75			0,1	0,2
	0,75						0,1	0,1
	1,75						0,1	0,2
	1,0	0,3			1,25	0,75			0,1	0,2
						1,6	1,0			0,1	0,1
	0,75						0,1	0,1
	1,75						0,1	0,1
	1,2	0,5			1,25	1,0			0,2	0,2

 

Схема 8

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		0,5				2,0	0,5			0,2	0,2
	1,0	0,5					0,2	0,2
	1,0						0,2	0,2
	0,75	0,25			1,0	0,5			0,2	0,2
		0,75				2,25	0,75			0,1	0,2
	1,25	0,75					0,1	0,1
	1,25						0,1	0,2
	1,0	0,3			1,25	0,75			0,1	0,2
		1,0				1,6	1,0			0,1	0,1
	1,35	1,0					0,1	0,1
	1,5						0,1	0,1
	1,2	0,5			1,25	1,0			0,2	0,2

 

Схема 9

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5				2,0	0,5			0,2	0,2
	0,5				1,25				0,2	0,2
	1,0	0,5					0,2	0,2
	0,75	0,25			1,0	0,5			0,2	0,2
		1,75				2,25	0,75			0,1	0,2
	1,0				1,5	0,75			0,1	0,1
	1,25	0,75					0,1	0,2
	1,0	0,3			1,25	0,75			0,1	0,2
		1,0				1,6	1,0			0,1	0,1
	0,75				0,8	0,5			0,1	0,1
	1,5	1,0					0,1	0,1
	1,2	0,5			1,25	1,0			0,2	0,2

 

Схема 10

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
								0.1	0.2
							0.1	0.3
									0.1	0.4
							0.2	0.4
								0.1	0.2
							-1	-0.3
							0.1	0.4	0.1	0,3
							0.2	0.4
								0.1	0.2
							0.1	0.3
									0,1	0,4
							0.2	0.4

Схема 11

 

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5				2,0	0,5			0,2	0,2
	0,5				1,0	0,5			0,2	0,2
	1,5						0,2	0,2
	0,75	0,25					0,2	0,2
		1,75				2,25	0,75			0,1	0,1
	0,75				1,25	0,75			0,1	0,2
	1,75						0,1	0,2
	1,0	0,3					0,1	0,2
						3,25	1,0			0,1	0,1
	0,75				1,5	1,0			0,1	0,1
	1,75						0,2	0,2
	1,2	0,5					0,1	0,1

Схема 12

 

 

№ Варианта	Звено	Длина, м	Угол поворота, град	Перемещение, мм
		Общ	Расч	Общ	Расч
		1,5				2,0	0,5			0,2	0,2
	0,5				1,0	0,5			0,2	0,2
	1,5						0,2	0,2
	0,75						0,2	0,2
		1,75				2,25	0,75			0,1	0,1
	0,75				1,25	0,75			0,1	0,2
	1,75						0,1	0,2
	1,0						0,1	0,2
						3,25	1,0			0,1	0,1
	0,75				1,5	1,0			0,1	0,1
	1,75						0,2	0,2
	1,2						0,1	0,1

Схема 13

Х