Экзаменационная работа по математике базового уровня состоит из одной части, включающей 20 заданий с кратким ответом. Все задания направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.
Ответом к каждому из заданий 1–20 является целое число, конечная десятичная дробь, или последовательность цифр.
№1. Элементарные математические вычисления
В задании №1 ЕГЭ по математике базового уровня необходимо провести элементарные вычисления - сложение, вычитание, деление и умножение дробей. Более того, данное задание аналогично первому заданию ОГЭ по математике, поэтому теория для успешного выполнения одинакова. Поэтому мы перейдем непосредственно к разбору типовых вариантов.
Первый вариант задания
Найдите значение выражения:
Алгоритм решения:
1. Определить порядок действий.
2. Выполнить действия в скобках.
3. Преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
4. Привести дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю.
5. Произвести действия в числителе.
6. Знаменатель оставить наименьший общий.
7. Умножить числитель получившейся дроби на 9.
8. Полученный результат сократить и преобразовать в десятичную дробь.
Решение в общем виде:
Пояснения к решению:
Первым всегда выполняется действие в скобках, в данном случае вычитание.
Преобразуем смешанное число
в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель, и прибавим числитель
3 • 15 + 1 = 46
Запишем результат в числитель, знаменатель оставим без изменения.
Действие в скобках примет вид:
Ищем наименьший общий знаменатель для дробей 4/9 и 46/15. 15 не делится на 9, удвоим наибольший знаменатель. 30 не делится на 9. утроим наибольший знаменатель, 45 делится на 9. Следовательно, 45 делится одновременно и на 15, и на 9. То есть 45 – наименьший общий знаменатель дробей 4/9 и 46/15.
Приводим дроби к общему знаменателю – 45. Для этого по основному свойству дроби необходимо и числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, чтобы дробь не изменилась. Это число называется дополнительным множителем. Дополнительный множитель к первой дроби - 5 (9*5=45). Чтобы получить в знаменателе первой дроби 45 необходимо умножить на 5 и числитель и знаменатель.
Вторую дробь умножим на 3 (15 • 3=45)
Действие в скобках после преобразования будет выглядеть так:
Произведем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого в числителе запишем вычитание числителей, а знаменатель оставим без изменений.
Выполним действие за скобками, в данном случае умножение на целое число. Для этого умножим числитель дроби на 9, а знаменатель оставим без изменений. Числитель и знаменатель полученной дроби сократим на 9, то есть разделим и числитель и знаменатель дроби на 9. По основному свойству дроби дробь не изменится.
Минус в числителе выносится за дробную черту.
Полученную дробь преобразуем в десятичную, поделив в столбик.
Не забудьте о знаке «минус» в ответе.
Ответ: - 23,6
Второй вариант задания
Найдите значение выражения:
Алгоритм решения:
1. Определить порядок действий.
2. Выполнить действие в скобках.
3. Привести дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю.
4. Выполнить вычитание числителей, знаменатель оставить без изменений.
5. Выполнить деление. Для этого числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.
Решение в общем виде:
Пояснения к решению:
Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае вычитание.
Для того чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к наименьшему общему знаменателю. Сделаем это путем подбора. Необходимо найти число, которое одновременно делится и на 4, и на 9. 9 на 4 не делится. Удвоим больший знаменатель: 18 не делится на 4. Утроим больший знаменатель: 27 не делится на 4. Увеличим больший знаменатель в 4 раза: 36 делится и на 9, и на 4 одновременно. Следовательно, 36 – наименьший общий знаменатель для дробей 1/4 и 2/9.
Примечание. Метод подбора удобен, если числа небольшие. В противном случае нужно искать НОК по алгоритму.
Найдем дополнительные множители для дробей 1/4 и 2/9. По основному свойству дроби, если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится. Дробь 1/4 нужно умножить на 9(и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 36. Дробь 2/9 нужно умножить на 4 (и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 36.
В результате получим:
Действие в скобках примет вид:
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого вычтем из числителя первой дроби числитель второй, результат запишем в числитель. Знаменатель оставим прежним.
Выполним действие за скобками. Для этого числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.
Сократим (разделим и числитель и знаменатель) полученную дробь на 12.
Ответ: 21
Третий вариант задания
Найти значение выражения:
Алгоритм решения:
1. Определить порядок действий.
2. Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае сложение.
3. Перевести смешанное число в неправильную дробь.
4. Привести полученные дроби к наименьшему общему знаменателю.
5. Выполните сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого сложить числители, результат записать в числитель, знаменатель оставить без изменений.
6. Выполнить деление.
7. Перевести смешанное число в неправильную дробь. Для этого целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним.
8. Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй – записать в числитель. Знаменатель первой дроби умножить на числитель второй результат записать в знаменатель.
9. Сократить получившуюся дробь.
10. Привести результат к десятичному виду.
Решение в общем виде:
Пояснения к решению:
Первым ВСЕГДА выполняют действия в скобках, в данном случае сложение.
Нужно сложить смешанное число и правильную дробь. Для этого целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним. Переведем смешанное число в неправильную дробь:
Действие в скобках примет вид:
Для того, чтобы выполнить сложение дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к наименьшему общему знаменателю. Сделаем это путем подбора. Необходимо найти число, которое одновременно делится и на 5, и на 7. 7 на 5 не делится. Удвоим больший знаменатель: 14 не делится на 5. Утроим больший знаменатель: 21 не делится на 5. Увеличим больший знаменатель в 4 раза: 28 не делится 5. Увеличим больший знаменатель в 5 раз: 35 делится одновременно и на 5, и на 7. Следовательно, 35 – наименьший общий знаменатель для дробей 9/5 и 3/7.
Примечание. Метод подбора удобен, если числа небольшие. В противном случае нужно искать НОК по алгоритму.
Найдем дополнительные множители для дробей 9/5 и 3/7. По основному свойству дроби, если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то дробь не изменится. Дробь 9/5 нужно умножить на 7(и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 35. Дробь 3/7 нужно умножить на 5 (и числитель, и знаменатель), чтобы в знаменателе получился наименьший общий знаменатель 35.
В результате получим:
Действие в скобках примет вид:
Выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого сложим числители, результат запишем в числитель. Знаменатель оставим прежним.
Выполним действие за скобками. Переведем смешанное число в неправильную дробь, для этого целую часть нужно умножить на знаменатель и прибавить числитель, результат записать в числитель, а знаменатель оставить прежним.
Выполнить деление дробей. Числитель первой дроби нужно умножить на знаменатель второй, результат записать в числитель; знаменатель первой дроби умножить на числитель второй, результат записать в знаменатель.
Сократим (разделим и числитель, и знаменатель на одно и то же число) полученную дробь на 39.
Переведем полученную дробь в десятинную.
Ответ: 8,75
Вариант первого задания из ЕГЭ 2017 года (1)
Найдите значение выражения:
(6,7 − 3,2) ⋅ 2,4
В данном случае первым действием мы выполняем вычитание в скобках, а затем производим умножение:
6,7 − 3,2 = 3,5
3,5⋅ 2,4 = 8,4
Отдельно остановлюсь на последнем действии. Его можно вычислить умножением в столбик, либо посчитать устно, воспользовавшись следующими логическими операциями:
2,4 ⋅ 3 + 2,4 ⋅ 0,5 = 2 ⋅ 3 + 0,4 ⋅ 3 + 2,4/2 = 6 + 1,2 +1,2 = 8,4
Ответ: 8,4
Найдите значение выражения:
В данном случае необходимо выполнить сложение обыкновенных дробей. Общий знаменатель для дробей в скобках - 15 (если вы забыли как определять общий знаменатель, смотрите здесь). Первую дробь домножаем на 5, вторую на 3. Получаем:
(5 + 3)/15
После сложения:
8/15
Теперь выполняем умножение:
8•6/15 = 48/15
В таком варианте дробь в ответ записать мы не можем, выделяем сначала целую часть, это 3 (45/15=3), в остатке получим:
3/15
После сокращения на 3:
1/5
и перевода в десятичный вид:
1/5 = 20/100 = 2/10 = 0,2
Не забываем про целую часть и получаем ответ:
3,2
Ответ: 3,2
№2. Операции со степенями
Во задании №2 ЕГЭ по математике необходимо продемонстрировать знания работы со степенными выражениями.
Теория к заданию №2
Правила обращения со степенями можно представить следующим образом:
Кроме этого, следует напомнить об операциях с дробями:
Теперь можно перейти к разбору типовых вариантов!
Первый вариант задания
Найдите значение выражения 
Алгоритм выполнения:
1. Представить число с отрицательным показателем в виде правильной дроби.
2. Выполнить первое умножение.
3. Представить степени чисел в виде простых чисел, заменив степени их умножением.
4. Выполнить умножение.
5. Выполнить сложение.
Решение:
Чтобы представить отрицательную степень числа в виде обыкновенной дроби, необходимо 1 разделить на это число, но уже в положительной степени.
То есть: 10-1 = 1/101 = 1/10
Выполним первое умножение, то есть умножение целого числа на правильную дробь. Для этого числитель дроби умножим на целое число, а знаменатель оставим без изменения.
9 · 1/10 = (9 · 1)/10 = 9/10
Первая степень числа всегда есть само число.
101 = 10
Вторая степень числа – это число умноженное само на себя.
102 = 10 · 10 = 100
Вычислим значение выражения, учитывая, что 
получим:
Ответ: 560,9
Второй вариант задания
Найдите значение выражения 
Алгоритм выполнения:
1. Представить первую степень числа в виде целого числа.
2. Представить отрицательные степени чисел в виде правильных дробей.
3. Выполнить умножение целых чисел.
4. Выполнить умножение целых чисел на правильные дроби.
5. Выполнить сложение.
Решение:
Первая степень числа всегда есть само число. (101 = 10)
Чтобы представить отрицательную степень числа в виде обыкновенной дроби, необходимо 1 разделить на это число, но уже в положительной степени.
То есть:
10-1 = 1/101 = 1/10
10-2 = 1/102 = 1/(10 · 10) = 1/100
Выполним умножение целых чисел.
3 · 101 = 3 · 10 = 30
Выполним умножение целых чисел на правильные дроби.
4 · 10-2 = 4 · 1/100 = (4 ·1)/100 = 4/100
2 · 10-1 = 2 · 1/10 = (2 · 1)/10 = 2/10
Вычислим значение выражения, учитывая, что
получим:
Ответ: 30,24
Третий вариант задания
Найдите значение выражения
Алгоритм выполнения:
1. Представить степени чисел в виде умножения и вычислить значение степеней чисел.
2. Выполнить умножение.
3. Выполнить сложение.
Решение:
Представим степени чисел в виде умножения. Для того чтобы представить степень числа в виде умножения, нужно это число умножить само на себя столько раз сколько содержится в показателе степени.
24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
23 = 2 · 2 · 2 = 8
Выполним умножение:
4 · 24 = 4 · 16 = 64
3 · 23 = 3 · 8 = 24
Вычислим значение выражения:
Ответ: 88
Четвертый вариант задания
Найдите значение выражения
Алгоритм выполнения:
1. Представим степень числа таким образом, чтобы можно было вынести за скобку общий множитель.
2. Вынести общий множитель за скобку.
3. Выполнить действие в скобках.
4. Представить степень числа в виде умножения и вычислить значение степени числа.
5. Выполнить умножение.
Решение:
Представим степень числа таким образом, чтобы можно было вынести за скобку общий множитель.
44 = 4 · 43
Вынесем общий множитель за скобку
3 · 43 + 2 · 44 = 43 · (3 + 2 · 4)
Выполним действие в скобках.
(3 + 2 · 4) = (3 + 8) = 11
Представим степень числа в виде умножения. Для того чтобы представить степень числа в виде умножения, нужно это число умножить само на себя столько раз сколько содержится в показателе степени.
43 = 4 · 4 · 4 = 64
Вычислим значение выражения, учитывая, что
получим:
Ответ: 704
Пятый вариант задания
Найдите значение выражения
Алгоритм выполнения:
1. Представим степень числа таким образом, чтобы можно было вынести за скобку общий множитель.
2. Вынести общий множитель за скобку.
3. Выполнить действие в скобках.
4. Представить степень числа в виде умножения и вычислить значение степени числа.
5. Выполнить умножение.
Решение:
Представим степень числа таким образом, чтобы можно было вынести за скобку общий множитель.
53 = 5 · 52
Вынесем общий множитель за скобку
2 · 53 + 3 · 52 = 52 · (2 · 5 + 3)
Выполним действие в скобках.
(2 · 5 + 3) = (10 + 3) = 13
Представим степень числа в виде умножения. Для того чтобы представить степень числа в виде умножения, нужно это число умножить само на себя столько раз сколько содержится в показателе степени.
52 = 5 · 5 = 25
Вычислим значение выражения, учитывая, что
, а 
получим:
Выполняем умножение в столбик, имеем:
Ответ: 325
Вариант второго задания из ЕГЭ 2017 года (1)
Найдите значение выражения:
Решение:
В данном задании удобней привести значения к более привычному виду, а именно записать числа в числителе и знаменателе в стандартном виде:
После этого можно выполнить деление 24 на 6, в результате получим 4.
Десять в четвертой степени при делении на десять в третьей степени даст десять в первой, или просто десять, поэтому мы получим:
4 • 10 = 40
Ответ: 40
Вариант второго задания из ЕГЭ 2017 года (2)
Найдите значение выражения:
Решение:
В данном случае мы должны заметить, что число 6 в знаменателе раскладывается на множители 2 и 3 в степени 5:
После этого можно выполнить сокращения степеней у двойки: 6-5=1, у тройки: 8-5=3.
Теперь возводим 3 в куб и умножаем на 2, получая 54.
Ответ: 54
№3. Задачи на проценты
В задании №3 ЕГЭ по математике нам предстоит решить простую задачу на проценты или часть от целого. Данные задачи в большинстве случаев интуитивно понятны, так как взяты из реальных жизненных ситуаций, тем не менее необходимо быть внимательным при их выполнении.
Первый вариант задания
Банк начисляет на срочный вклад 8% годовых. Вкладчик положил на счёт 7000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?
Алгоритм выполнения:
§ Вариант 1.
1. Сложить 100% и процент годовых.
2. Найти 1% от суммы, для этого сумму разделить на 100.
3. Умножить стоимость 1% на искомое количество процентов.
§ Вариант 2.
1. Сложить 100% и процент годовых.
2. Полученные проценты перевести в десятичную дробь (разделить на сто).
3. Найти процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).
Решение:
§ Вариант 1.
Вклад 8 % годовых означает, что начальная сумма 7000 рублей через год увеличится на 8%, то есть составит 100+8=108% от исходной суммы.
Способ нахождения процента от числа №1. Для того, чтобы найти процент от числа нужно данное число разделить на 100(узнать сколько составляет 1 %), а затем умножить на искомое количество процентов.
Вычислим 108% от 7000, получим:
1. 7000: 100 = 70(рублей) – составит 1 %.
2. 70 · 108 = 7560(рублей) – составит вклад через год.
§ Вариант 2.
Вклад 8 % годовых означает, что начальная сумма 7000 рублей через год увеличится на 8%, то есть составит 100+8=108% от исходной суммы.
Способ нахождения процента от числа №2. Для того, чтобы найти процент от числа, нужно перевести искомый процент в десятичную дробь(разделить на сто), затем умножит число на полученную десятичную дробь.
108% = 108: 100 = 1,08
7000 · 1,08 или
.
Выполнив умножение столбиком, имеем:
Ответ: 7560.
Второй вариант задания
Банк начисляет на срочный вклад 7 % годовых. Вкладчик положил на счёт 3000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?
Алгоритм выполнения:
§ Вариант 1.
1. Сложить 100% и процент годовых.
2. Найти 1% от суммы, для этого сумму разделить на 100.
3. Умножить стоимость 1% на искомое количество процентов.
§ Вариант 2.
1. Сложить 100% и процент годовых.
2. Полученные проценты перевести в десятичную дробь (разделить на сто).
3. Найти процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).
Решение:
§ Вариант 1.
Вклад 7 % годовых означает, что начальная сумма 3000 рублей через год увеличится на 7%, то есть составит 100+7=107% от исходной суммы.
Способ нахождения процента от числа №1. Для того, чтобы найти процент от числа нужно данное число разделить на 100(узнать сколько составляет 1 %), а затем умножить на искомое количество процентов.
Вычислим 107% от 3000, получим:
1. 3000: 100 = 30(рублей) – составит 1 %.
2. 30 · 107 = 3210(рублей) – составит вклад через год.
§ Вариант 2.
Вклад 7 % годовых означает, что начальная сумма 3000 рублей через год увеличится на 7%, то есть составит 100+7=107% от исходной суммы.
Способ нахождения процента от числа №2. Для того, чтобы найти процент от числа, нужно перевести искомый процент в десятичную дробь (разделить на сто), затем умножит число на полученную десятичную дробь.
107% = 107: 100 = 1,07
3000 · 1,07 или 
Ответ: 3210.
Третий вариант задания
В сентябре 1 кг слив стоил 40 рублей, в октябре сливы подорожали на 40%, а в ноябре ещё на 15%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в ноябре?
Алгоритм выполнения:
1. Найти сколько составляет один процент от начальной стоимости.
2. Сложить 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.
3. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.
4. Найти стоимость 1% от новой стоимости.
5. Сложить 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.
6. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.
Решение с пояснениями:
Найдем сколько составляет один процент от начальной стоимости:
40: 100 = 0,4 (рублей) – составляет 1 % от начальной стоимости.
Сложим 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.
100 + 40 = 140 (%) – составила стоимость от начальной цены после первого подорожания.
Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.
140 · 0,4 = 56 (рублей) – стали стоить сливы в октябре.
Найдем стоимость 1% от новой стоимости.
56: 100 = 0,56 (рубля) – 1% от новой стоимости.
Сложим 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.
100 + 15 = 115 (%) – составила стоимость в ноябре от цены в октябре.
Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.
115 · 0,56 = 64,4 (рубля) – конечная стоимость.
Решение в общем виде:
Подорожание на 40% означает увеличение стоимости на 140%, то есть, 40 рублей становятся равными
рублей.
Затем, в ноябре стоимость слив увеличилась еще на 15%, что составило
рублей.
Замечание: обратите внимание, что в данной задаче нельзя просто складывать проценты 40+15=55% и вычислять 155% от 40 рублей! Это будет приводить к неверным решениям.
Ответ: 64,4.
Четвертый вариант задания
В сентябре 1 кг винограда стоил 90 рублей, в октябре виноград подорожал на 20 %, а в ноябре ещё на 25 %. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?
Алгоритм выполнения:
1. Найти сколько составляет один процент от начальной стоимости.
2. Сложить 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.
3. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.
4. Найти стоимость 1% от новой стоимости.
5. Сложить 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.
6. Умножить стоимость одного процента на полученное количество процентов.
Решение с пояснениями:
Найдем сколько составляет один процент от начальной стоимости:
90: 100 = 0,9 (рублей) – составляет 1 % от начальной стоимости.
Сложим 100% и на сколько процентов произошло подорожание впервые.
100 + 20 = 120 (%) – составила стоимость от начальной цены после первого подорожания.
Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.
120 · 0,9 = 108 (рублей) – стали стоить сливы в октябре.
Найдем стоимость 1% от новой стоимости.
108: 100 = 1,08 (рубля) – 1% от новой стоимости.
Сложим 100 % и количество процентов, на которое подорожал товар во второй раз.
100 + 25 = 125 (%) – составила стоимость в ноябре от цены в октябре.
Умножим стоимость одного процента на полученное количество процентов.
125 · 1,08 = 135 (рублей) – конечная стоимость.
Решение в общем виде:
Подорожание на 20% означает увеличение стоимости на 120%, то есть, для 90 рублей имеем:
рублей.
Затем, в ноябре стоимость слив увеличилась еще на 25%, что составило
рублей.
Замечание: обратите внимание, что в данной задаче нельзя просто складывать проценты 20+25=45% и вычислять 145% от 90 рублей! Это будет приводить к неверным решениям.
Ответ: 135.
Пятый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
Ивану Кузьмичу начислена заработная плата 20000 рублей. Из этой суммы вычитается налог на доход физических лиц в размере 13 %. Сколько рублей он получит после уплаты подоходного налога?
Алгоритм выполнения:
§ Вариант 1.
1. Вычесть из 100% налог в процентах.
2. Найти 1% от начальной суммы, для этого сумму разделить на 100.
3. Умножить стоимость 1% на искомое количество процентов.
§ Вариант 2.
1. Вычесть из 100% налог в процентах.
2. Полученные проценты перевести в десятичную дробь (разделить на сто).
3. Найти процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).
Решение:
§ Вариант 1.
Вычтем из 100% налог в процентах.
100 – 13 = 87 (%) – получит Иван Кузьмич после вычета налога.
Найдем 1 % от начальной суммы.
20000: 100 = 200 (рублей) – составит 1%.
Найдем 87% от 20000.
87 · 200 = 17400 (рублей) – получит Иван Кузьмич.
§ Вариант 2.
Вычтем из 100% налог в процентах. 100 – 13 = 87 (%)
Полученные проценты переведем в десятичную дробь (разделить на сто). 87: 100 = 0,87
Найдем процент от числа (число умножить на полученную десятичную дробь).
20000 · 0,87 = 17400 (рублей)
Ответ: 17400 рублей получит Иван Кузьмич.
Вариант третьего задания из ЕГЭ 2017 (1)
ЕГЭ по физике сдавали 25 выпускников школы, что составляет треть от общего числа выпускников. Сколько выпускников этой школы не сдавали экзамен по физике?
Решение:
Нам известно, что количество учеников, сдававших ЕГЭ по физике равно 25, и это составляет 1/3 от общего числа выпускников. Значит 25 - это 1/3, тогда общее число учеников:
25 • 3 = 75
Количество учеников, не сдававших ЕГЭ по физике, равно:
75 - 25 = 50
Ответ: 50
№4. Преобразование выражений
В задании №4 ЕГЭ по математике базового уровня нам необходимо продемонстрировать умения работы с выражениями. В данных задачах необходимо выразить из заданного выражения нужную переменную и вычислить её, подставив значения.
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
Найдите v0 из равенства v = v0 + at, если v = 20, t = 2, a = 7.
Алгоритм выполнения:
1. Подставить данные значения в выражение.
2. Решить уравнение относительно неизвестной.
Решение:
Подставим все значения в данное выражение, получим:
20 = v0 + 7 · 2
Преобразуем:
20 = v0 + 14.
Найдем неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
v0 = 20 – 14
v0 = 6
Ответ: v0 = 6
Второй вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
Скорость камня (в м/с), падающего с высоты h (в м), в момент удара о землю можно найти по формуле 
. Найдите скорость (в м/с), с которой ударится о землю камень, падающий с высоты 0,9 м. Считайте, что ускорение свободного падения g равно 9,8 м/с2.
Алгоритм выполнения:
1. Подставить все значения в данную формулу.
2. Произвести вычисления.
Решение:
По условию задания дана высота h=0,9 м и ускорение свободного падения g=9,8 м/с2. Подставим эти значения в формулу вычисления скорости v, получим:
Делаем умножение 1,8 на 9,8, имеем:
Примечание: При умножении в столбик десятичных дробей запятая записывается строго под запятой. В полученном результате справа отсчитывают столько знаков, сколько поле запятой в ОБЕИХ дробях ВМЕСТЕ.
и извлекаем из числа 17,64 квадратный корень:
м/с.
Ответ: 4,2 м/с.
Третий вариант задания
Энергия заряженного конденсатора W (в Дж) вычисляется по формуле 
, где C — ёмкость конденсатора (в Ф), a q — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите энергию конденсатора (в Дж) ёмкостью 
Ф, если заряд на его обкладке равен 0,019 Кл.
Алгоритм выполнения задания:
1. Подставить все известные значения в данную формулу.
2. Провести вычисления.
Решение:
Подставим в формулу энергии конденсатора значения q=0,019 Кл и C = Ф, получим:
Пояснения:
Если степень стоит за скобкой, а внутри скобки произведение, то степень относится к каждому из множителей. То есть (19 · 10-3)2 = 192 · 10-3·2.
Чтобы найти вторую степень числа нужно умножить число само на себя.
192 = 19 · 19 = 361
Умножить на число в отрицательной степени, значит разделить на это число, но только в положительной степени.
361 · 10-3 = 361/1000 = 0,361
Ответ: 0,361.
Четвертый вариант задания
Энергия заряженного конденсатора W (в Дж) вычисляется по формуле , где C — ёмкость конденсатора (в Ф), a q — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите энергию конденсатора (в Дж) ёмкостью Ф, если заряд на его обкладке равен 0,07 Кл.
Алгоритм выполнения:
1. Подставить все известные значения в данную формулу.
2. Провести вычисления.
Решение:
Подставим в формулу энергии конденсатора значения q=0,07 Кл и C = Ф, получим:
.
Пояснения:
Если степень стоит за скобкой, а внутри скобки произведение, то степень относится к каждому из множителей. То есть (7 · 10-2)2= 72 · 10-2·2.
Чтобы найти вторую степень числа нужно умножить число само на себя.
72 = 7 · 7 = 49
Умножить на число в отрицательной степени, значит разделить на это число, но только в положительной степени.
49 · 10-1 = 49/10 = 4,9
Ответ: 4,9.
Пятый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
Найдите m из равенства F = ma, если F = 84 и a = 12.
Алгоритм выполнения:
1. Подставить данные значения в выражение.
2. Решить уравнение относительно неизвестной.
Решение:
Подставим все значения в данное выражение, получим:
84 = m ·12
2. Найдем неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель нужно разделить произведение на известный множитель.
m = 84: 12
m = 7
Ответ: 7 кг.
Вариант четвертого задания из ЕГЭ 2017 (1)
Найдите m из равенства F = ma, если F = 84 и a =12.
В начале выразим из формулы m, так как это множитель, то он равен произведению, деленному на второй множитель.
m=F/a
Теперь можем подставить числа из условия:
m=84/12=7
Ответ: 7
Вариант четвертого задания из ЕГЭ 2017 (2)
Найдите v0 из равенства v = v0 + at, если v = 20, t = 2 и a = 7.
Аналогично выразим v0, перенеся at в левую часть:
v - at = v0
Подставим значения:
20 - 7 • 2 = 6 = v0
Ответ: 6
Вариант четвертого задания из ЕГЭ 2017 (3)
Найдите S из равенства S = v0t + at2/2, если v0 = 6, t = 2, a = −2.
В данном случае нам необходимо просто подставить числа и выполнить вычисления:
S = 6 • 2 + (-2) • 22/2 = 12 -4 = 8
Ответ: 8
№5. Значение выражений
В задании №5 ЕГЭ по математике базового уровня нам необходимо вычислить значение выражения, пользуясь различными правилами: формулами сокращенного умножения, знаниями тригонометрии, свойствами логарифмов и другими.
Теория к заданию №5
В данном задании, кроме операций со степенями, о которых мы говорили в прошлых заданиях, необходимо помнить формулы сокращенного умножения:
Кроме этого, очень часто встречаются задания на знания свойств логарифма:
Полезными будут представления о тригонометрической окружности, по которой можно определять знаки тригонометрических функций:
Первый вариант задания
Найдите значение выражения 
Алгоритм выполнения:
1. Представим угол 390° с учетом периодичности функции tg меньшим углом.
2. Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.
3. Выполним умножение.
Решение:
Функция tg является периодической с периодом 180°, то есть каждый раз при увеличении или уменьшении угла на 180° значение tg повторяется.
То есть tg α = tg (α + 180°) = tg (α - 180°)
tg 390° = tg (390° - 180°) = tg 210° = tg (210° - 180°) = tg 30°
Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.
tg 30° = √3/3
Подставим найденное значение в данное выражение.
20 · √3 · (√3/3) = (20 · √3 · √3)/3 = (20 · 3)/3 = 20
Решение в общем виде:
Вычислим выражение, учитывая, что функция тангенс периодическая с периодом π радиан или 180°. Следовательно, угол 390° эквивалентен углу
и получаем выражение:
Ответ: 20.
Второй вариант задания
Найдите значение выражения 
Алгоритм выполнения:
1. Представим угол 420° с учетом периодичности функции tg меньшим углом.
2. Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных материалах) значение tg полученного угла.
3. Выполним умножение.
Решение №1:
Функция tg является периодической с периодом 180°, то есть каждый раз при увеличении или уменьшении угла на 180° значение tg повторяется.
То есть
tg α = tg (α + 180°) = tg (α - 180°)
tg 390° = tg (420° - 180°) = tg 240° tg (240° - 180°) = tg 60°
Найдем таблице значений тригонометрических функций (в справочных ма<