Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов.

Дискретные сигналы

А. Т. Бизин

Сибирская Государственная Академия телекоммуникаций и информатики

Новосибирск 1998 г.

Дискретизация непрерывных сигналов

Обработка сигналов на цифровых ЭВМ начинается с замены непрерывного сигнала X(t) на дискретную последовательность, для которой применяются такие обозначения

x(nT), x(n), x_n, {x₀; x₁; x₂; … }.

Дискретизация осуществляется электронным ключом (ЭК) через равные интервалы времени T (Рис. 1.1).

Дискретная последовательность аппроксимирует исходный сигнал X(t) в виде решетчатой функции X(nT). Частота переключения электронного ключа f_д и шаг дискретизации T связаны формулой

f_д = 1 / T. (1.1)

Дискретная последовательность или дискретный сигнал выражается через исходный непрерывный (аналоговый) сигнал следующим образом

x(nT) = x(t) d(t - nT), (1.2)

где d(t) - дискретная d - функция (Рис. 1.2, а),

d(t - nT) - последовательность d - функций (Рис. 1.2, б).

Погрешность, возникающую при замене аналогового сигнала дискретным сигналом, удобно оценить сравнивая спектры этих сигналов.

Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов.

Исходное выражение для спектра дискретного сигнала с учетом (1.2) запишется следующим образом

X(jw) = x(nT) e^-jwt dt = x(t) d(t - nT) e^-jwt dt.

Периодическую последовательность d - функций здесь можно разложить в ряд Фурье

d(t - nT) = ,

где с учетом формулы связи спектров периодического и непериодического сигналов

, поскольку F_d(jw) = 1

После замены в исходном выражении периодической последовательности d - функций ее разложением в ряд Фурье получим

X(jw) = x(t)() e^-jwt dt = x(t) e^-jwt dt.

Учитывая здесь теорему смещения спектров, т.е.:

если f(t) ® F(jw), то f(t) ® F[j(w ± w₀)],

последнее равенство можно представить в виде формулы, выражающей связь спектров дискретного X(jw) и аналогового X_a(jw) сигналов

X(jw) = X_a[j(w - )]. (1.3)

На основании формулы (1.3) с учетом поясняющих рисунков 1.3, а, б можно сделать следующие выводы:

Спектр дискретного сигнала состоит из суммы спектров исходного непрерывного сигнала, сдвинутых друг относительно друга по оси частот на величину равную частоте дискретизации w_д

Спектры аналогового и дискретного сигналов совпадают в диапазоне частот [-0,5w_д; 0,5w_д], если удовлетворяется неравенство

w_в £ 0,5w_д, (1.4)

где w_в - верхняя частота спектра аналогового сигнала.

Равенство в (1.4) соответствует утверждению теоремы Котельникова о минимальной частоте w_д.

Смежные спектры X_a(jw) в (1.3) частично перекрываются, если условие (1.4) не выполняется (Рис 1.3, б). В этом случае спектр дискретного сигнала искажается по отношению к спектру аналогового сигнала. Эти искажения являются неустранимыми и называются ошибками наложения.

Аналоговый сигнал можно восстановить полностью по дискретному сигналу с помощью ФНЧ, частота среза которого w_с = 0,5w_д. Это утверждение основано но совпадении спектров дискретного сигнала на выходе ФНЧ и непрерывного сигнала. Сигнал восстанавливается без искажений, если выполняется условие (1.4). в противном случае сигнал восстанавливается с искажениями, обусловленными ошибками наложения.

Выбор частоты дискретизации осуществляется в соответствии с (1.4). если частота w_в не известна, то выбор из w_д определяется расчетом по формуле (1.1), в которой интервал T выбирается приближенно с таким расчетом, чтобы аналоговый сигнал восстанавливался без заметных искажений плавным соединением отсчетов дискретного сигнала.