III. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации несжимаемой жидкости
Вывод дифференциального уравнения установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси строится на основе уравнения неразрывности, уравнений движения и уравнений состояния жидкости и пористой среды.
В рассматриваемом случае (r = const) без учета деформации пористой среды (m = const) уравнение неразрывности (2.11) принимает вид
. (3.1)
Уравнения установившегося движения жидкости по закону Дарси (2.4) в поле силы тяжести принимают вид
. (3.2)
По уравнениям (3.2) находим производные
и подставляем их выражения в уравнение (3.1), получаем
,
откуда
, (3.3)
т.е. Ñ2 P=0, или div gradP=0. (3.4)
Если ввести потенциал скорости фильтрации (2.6)
Ф = 
и подставить в уравнения движения (3.2), то последние принимают вид
. (3.5)
Дифференцируя (3.5) по соответствующим координатам и подставляя результаты в уравнение (3.1), получим
, (3.6)
т.е потенциал скорости фильтрации Ф(x,y,z) так же, как и давление Р(x,y,z), удовлетворяет уравнению Лапласса. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, являются непрерывными, имеющими непрерывные частные производные первого и второго порядка, называются гармоническими.
Решения уравнения Лапласса, как решения линейного однородного дифференциального уравнения, имеют следующие свойства:
1) произведение частного решения на произвольную постоянную, есть также решение этого уравнения;
2) сумма частных решений есть также решение этого уравнения.
Если, например, Р1, Р2, Р3,...., Рn - есть решения уравнения (3.3), то функция
Р = 
, где Сi – const
также удовлетворяет уравнению (3.3).
На основе дифференциального уравнения (3.3) или (3.6) исследуются фильтрационные характеристики всех (трех) одномерных фильтрационных потоков несжимаемой жидкости в недеформируемой пористой среде:
1) прямолинейно-параллельный;
2) плоскорадиальный;
3) радиально-сферический.
Одномерным называется фильтрационный поток жидкости, в котором скорость фильтрации и напор (давление) являются функциями только одной координаты, отсчитываемой вдоль линии тока.
Задача исследования установившегося фильтрационного потока заключается в определении следующих характеристик:
1)закон распределения давления,
2) градиент давления
3) скорость фильтрации
4) расход (дебит) жидкости
5) закон движения частиц жидкости вдоль их траектории.
Ниже производятся исследования отмеченных выше фильтрационных потоков несжимаемой жидкости в однородных коллекторах.
Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток
Фильтрационный поток называется прямолинейно- параллельным, когда траекториями частиц жидкости являются прямые линии, параллельные между собой, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения равны друг другу.
Наглядным примером такого фильтрационного потока является приток жидкости от прямолинейного контура питания к параллельной к нему прямолинейной батарее скважин, вскрывающих горизонтальный пласт постоянной ширины В на всю его толщину h =const. (рис. 6);
здесь: Рк - давление на контуре питания; Lк – расстояние от контура питания до батареи скважин (галереи).
Рис.6
Законы движения частиц жидкости вдоль всех траекторий такого потока совершенно одинаковы, а поэтому для исследования принимаем одну из траекторий, по которой направляем координатную ось ОX, а ось ОY - вдоль контура питания.
Дифференциальное уравнение Лапласса (3.3) в данном случае принимает вид
. (3.7)
Для определения давления в любой точке потока дважды интегрируем уравнение (3.7) при следующих граничных условиях:
при X = 0 P = Pk = const;
при X = Lk P = Pг = const. (3.8)
В результате двухкратного последовательного интегрирования (3.7) находим
или 
,
, (3.9)
где С1 и С2 - произвольные постоянные. Подставляя в (3.9) граничные условия (3.8), получаем
;. (3.10)
Закон распределения давления находим, подставив значения С1 и С2 из (3.10) в выражение общего решения (3.9)
. (3.11)
 |
Как следует из решения (3.11) пластовое давление Р(x) распределяется вдоль линии тока по линейному закону (рис. 7). В любой плоскости YOZ давление одинаково во всех точках, для которых X = const, т.е. это есть уравнение семейства изобар, перпендикулярных к линии тока OX; изобары и линии тока образуют два семейства взаимно перпендикулярных прямых линий (рис. 8).
Рис.7 Рис.8
Из (3.11) получаем выражение для градиента давления
. (3.12)
Уравнение движения для рассматриваемого случая, как это следует из (3.2), имеет вид:
. (3.13)
Подставив (3.12) в уравнение (3.13), находим выражение скорости фильтрации
. (3.14)
Объемный расход жидкости в потоке определяется произведением скорости фильтрации V на площадь поперечного сечения потока w = В*h, т.е
. (3.15)
Как видно из решений (3.12), (3.14) и (3.15) градиент давления dP/dx, скорость фильтрации V и расход (дебит) жидкости Q постоянны вдоль потока, т.е. не зависят от координаты X (рис. 7).
Закон движения частиц жидкости Х=Х(t) найдем, используя соотношение между скоростью фильтрации V и средней скоростью движения частиц жидкости VД
или 
;
откуда 
Интегрируя в пределах от 0 до t и от 0 до Х, получаем закон движения частиц жидкости
, (3.16)
т.е. зависимость х =х(t) линейная, как и следовало ожидать, поскольку в рассматриваемых условиях фильтрационный поток движется с постоянной скоростью V (3.14).