Лабораторная работа №3. Исследование способов формирования нечетких множеств и операций над ними в Fuzzy Logic Toolbox
Цель работы: изучить методы построения нечетких множеств с использованием различных типов функций принадлежности. Ознакомиться с наиболее распространенными логическими операциями над нечеткими множествами.
Теоретическая часть
Встроенные функции принадлежности пакета Fuzzy Logic Toolbox
Fuzzy Logic Toolbox включает 11 встроенных функций принадлежностей. Для удобства имена всех встроенных функций принадлежности оканчиваются на mf. Вызов функции принадлежности осуществляется следующим образом: namemf(x, params),
где namemf – наименование функции принадлежности;
x – вектор, для координат которого необходимо рассчитать значения функции принадлежности;
params – вектор параметров функции принадлежности.
Встроенные функции принадлежности используют следующие основные функции:
1. Кусочно-линейные функции принадлежности:
1.1. trimf - треугольная функция принадлежности. Порядок параметров: [a, b, c].
1.2. trapmf - трапециевидная функция принадлежности. Порядок параметров: [a, b, c, d].
1.3. smf - s-подобная функция принадлежности. Порядок параметров: [a b].
1.4. zmf - z-подобная функция принадлежности. Порядок параметров: [a b].
2. Функции принадлежности, построенные на основаннии гауссовского распределения:
2.1. gaussmf - симметричная гауссовская функция принадлежности. Порядок параметров: [c b].
2.2. gauss2mf - двухсторонняя гауссовская функция принадлежности. Порядок параметров: [a1 c1 a2 c2].
если c1<c2, то 
если c1>c2, то 
.
3. Функции принадлежности, построенные на основании сигмоидной кривой:
3.1. sigmf - сигмоидная функция принадлежности. Порядок параметров: [a c].
3.2. psigmf - произведение двух сигмоидных функций принадлежности. Порядок параметров: [a1 c1 a2 c2].
3.3. dsigmf - функция принадлежности в виде разности между двумя сигмоидными функциями. Порядок параметров: [a1 c1 a2 c2].
4. Функции принадлежности, построенные на основании квадратической и кубической кривых:
4.1. gbellmf - обобщенная колокообразная функция принадлежности. Порядок параметров: [a b c].
4.2. pimf - пи-подобная функция принадлежности. Порядок параметров: [a b c d], [a d] – носитель нечеткого множества; [b c] – ядро нечеткого множества. Является произведением smf и zmf функций.
Простейшие функции принадлежности треугольная (trimf) и трапециевидная (trapmf) формируется с использованием кусочно-линейной аппроксимации. Трапециевидная функция принадлежности является обобщение треугольной, она позволяет задавать ядро нечеткого множества в виде интервала. В случае трапециевидной функции принадлежности возможна следующая удобная интерпретация: ядро нечеткого множества – оптимистическая оценка; носитель нечеткого множества – пессимистическая оценка.
Две функции принадлежности – симметричная гауссовская (gaussmf) и двухстороняя гауссовская (gaussmf) формируется с использованием гауссовского распределения. Функция gaussmf позволяет задавать ассиметричные функция принадлежности. Обобщенная колоколообразная функция принадлежности (gbellmf) по своей форме похожа на гауссовские. Эти функции принадлежности часто используются в нечетких системах, так как на всей области определения они является гладкими и принимают ненулевые значения.
Функции принадлежности sigmf, dsigmf, psigmf основаны на использовании сигмоидной кривой. Эти функции позволяют формировать функции принадлежности, значения которых начиная с некоторого значения аргумента и до + (-) 
равны 1. Такие функции удобны для задания лингвистических термов типа “высокий” или “низкий”.
Полиномиальная аппроксимация применяется при формировании функций zmf, pimf и smf, графические изображения которых похожи на функции sigmf, dsigmf, psigmf, соответственно.
На рисунке 3.1 приведены графические изображения функций принадлежности, полученные с помощью демонстрационной сценария mfdemo. Как видно из рисунка, встроенные функции принадлежности позволяют задавать разнообразные нечеткие множества.
Рисунок 3.1 - Встроенные функции принадлежности
В Fuzzy Logic Toolbox предусмотрена возможность для пользователя создания собственной функции принадлежности. Для этого необходимо создать m-функцию, содержащую два входных аргумента – вектор, для координат которого необходимо рассчитать значения функции принадлежности и вектор параметров функции принадлежности. Выходным аргументом функции должен быть вектор степеней принадлежности. Ниже приведена m-функция, реализующая колоколообразную функцию принадлежности 
(рисунок 3.2):
x=0:0.1:5;
a=1;
b=2;
mu=1./(1+ ((x-b)/a).^2);
plot(x, mu);
Рисунок 3.2 – Колоколообразная функция принадлежности