Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

Учебный модуль 7. Последовательности и ряды. Тема 17. Ряды Фурье. Основные определения. Разложение функций в тригонометрические ряды. Ряды от четных и нечетных функций. Интегральное преобразование Фурье.

ЛЕКЦИЯ 17. Ряды Фурье

Пусть функция f (x) определена на всей оси и является периодической функцией с периодом 2 π. В этом случае достаточно рассмотреть поведение функции в интервале (−π, π ]. Тогда такую функцию можно представить в виде суммы функционального тригонометрического ряда, который называется рядом Фурье

(17.1)

Числа , ,…., ,…, ,… … называются коэффициентами ряда Фурье и вычисляются по формулам

	(17.2)
	(17.3)
	(17.4)

Коэффициент имеет смысл среднего значения функции f (x) на интервале (−π, π ].

Замечание 1. Существует другой вариант записи ряда Фурье

В этом случае вычисляется по формуле

Эта формула совпадает с формулой (17.3) когда .

Замечание 2. Для 2 π периодической функции можно рассматривать и интервал [ −π, π). Можно 2 π периодическую функцию, рассматривать на любом интервале длины 2 π. Если функция не является периодической, то она задается на интервале [ −π, π ].

Существует несколько разных ограничений на функцию f (x), обеспечивающих сходимость ряда Фурье к значению функции.

1. Если функция дифференцируема в точке , тогда ряд Фурье сходится к значению функции в данной точке.

2. Функция называется кусочно монотонной на отрезке , если отрезок можно разбить на конечное число интервалов , таких что на каждом интервале функция или не убывает или не возрастает (рис. 17.1).

Если функция кусочно монотонна и ограничена на отрезке , то она может иметь только точки разрыва первого рода.

Рис. 17.1. Кусочно монотонная функция на отрезке , имеющая разрыв первого пода в точке

Ряд Фурье для кусочно монотонной, периодической с периодом 2 π, ограниченной на интервале [ −π, π ] функции f (x) сходится к значению функции во всех точках непрерывности. В точках с разрывов первого рода сходится к полусумме пределов функции слева и справа

3. Пусть функция f (x) непрерывно в точке и имеет в этой точке конечные односторонние пределы

(17.5)

то в точке ряд Фурье сходится к значению функции в данной точке.

Рис. 17.2. Односторонние касательные.

Замечание. Существование пределов (17.5) означает наличие односторонних касательных слева и справа (или односторонних производных) (рис. 17.2).

При вычислении коэффициентов ряда Фурье полезны следующие формулы

, ,

().

Пример. Разложить периодическую функцию f (x) в ряд Фурье

Решение.

Найдем коэффициенты ряда Фурье.

Здесь мы объединили два интеграла от одной и той же функции. Первый интеграл равен нулю, второй вычислим методом интегрирования по частям. Напомним формулу метода интегрирования по частям в определенном интеграле

Следовательно

Итого

Аналогично вычислим b_n

Первый интеграл равен нулю (интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку), второй вычислим методом интегрирования по частям

Итого

Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

Интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу равен нулю,

, нечетная, т. е. ,

а интеграл от четной функции по симметричному интервалу можно упростить «сдвоив» его

, четная, т. е.

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция , то произведение есть также нечетная функция, а - четная, следовательно,

	(17.5)
	(17.6)
	(17.7)

то есть, ряд Фурье для нечетной функции является разложением по синусам:

(17.8)

где

Если в ряд Фурье разлагается четная функция , то произведение есть также четная функция, а - нечетная, следовательно,

	(17.9)
	(17.10)
	(17.11)

то есть, ряд Фурье четной функции является разложением только по косинусам:

(17.12)

где

Пример.

Функция задана на промежутке :

и продолжена четным образом на промежуток , а затем продолжена -периодически, т.е. с периодом . Сделать чертеж функции и найти ее разложение в ряд Фурье.