Интегрирование простейших рациональных дробей




Как было сказано выше, любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби, причем это представление единственно. Интегрирование многочлена не представляет трудностей, поэтому рассмотрим вопрос об интегрировании правильной рациональной дроби.

Т.к. любая правильная рациональная дробь представима в виде суммы простейших дробей, то ее интегрирование сводится к интегрированию простейших дробей.

 

 

 

 

 

 

 

 

Интеграл в правой части обозначим через Jk и преобразуем его следующим образом:

 

 

Т.о., мы получили рекуррентную формулу Jk = ,

которая позволяет найти интеграл Jk для любого k = 2, 3, ….

 

Действительно, интеграл J 1 является табличным: J 1 = + С.

Полагая в рекуррентной формуле k = 2, найдем:

 

J 2 = + С.

 

Зная J 2 и полагая k = 3, легко найдем J 3 и т.д.

В окончательном результате, подставляя всюду вместо t и a их выражения через х и коэффициенты p и q, получим для первоначального интеграла выражение его через х и заданные числа M, N, p, q.

Интегрирование рациональных дробей (общий случай)

Из результатов пп.1 и 2 этого параграфа непосредственно следует

правило интегрирования рациональных дробей.

 

1. Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (см. п.2).

 

2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.

 

3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

 

Разложим правильную дробь на простейшие дроби:

Т.о.,

Интегрируем полученное равенство

= =

= = =

=

 

Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

Интегрирование иррациональных функций

Интегралы от квадратичных иррациональностей

Интегралы типа , , называются неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей.

 

Их можно найти следующим образом: под знаком радикала выделить полный квадрат:

 

 

и сделать подстановку = t. При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий – к сумме двух табличных интегралов.

Пример 8. Найти интеграл .

= =

= = ln + C = ln + C.

Пример 9. Найти интеграл .

= =

= = + 3 = – + 3 =

= – + 3arcsin + C = 3arcsin + C.

Интегралы типа dx, где Pn (x)– многочлен степени n, удобно вычислять, пользуясь формулой

 

dx = Qn 1(x) · + An . (1)

Здесь Qn 1(x) = A 0 + A 1 х +…+ An 1 х n 1 многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.

 

Для нахождения коэффициентов A 0, A 1, , An продифференцируем обе части (1)

 

= Q′n 1(x) · + Qn 1(x) · + An (2)

 

Затем правую часть равенства (2) приводим к общему знаменателю, равному знаменателю левой части, т.е. , сокращая на который обе части (2), получим тождество

 

Pn (x)= Q′n 1(x) · (ax 2 + bx + c) + Qn 1(x) · (ax + b /2) + An, (3)

 

в обеих частях которого стоят многочлены степени n. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях (3), получим n + 1 уравнений, из которых находим искомые коэффициенты Ak, k = 0, 1, 2, …, n. Подставляя их значения в правую часть (1) и найдя интеграл , (см. выше) получим ответ для данного интеграла.

 

 

Пример 10. Найти интеграл .

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-04-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: