Структурно – логическая схема тематики решаемых задач.

Тематика решаемых задач.

Практическое занятие по теме ПМ – МА.9 «Методика исследования функций на непрерывность. Построение схематического графика функции» предполагает применение теоретических положений данной темы к исследованию функции на непрерывность, определение точек разрыва, установление характера разрыва и схематического построения графика функции на основании полученных результатов исследования.

Вам необходимо уметь:

В зависимости от аналитического выражения функции применить то или иное определение непрерывности функции.
По виду функции определять точки разрыва, т.е. точки в которых функция не определена.
Определять характер разрыва.
Исследовать «поведение» функции на бесконечности, т.е. при х ® ±¥.
Строить схематический график исследуемой функции.

Структурно – логическая схема тематики решаемых задач.

Пример 1. Пользуясь вторым определением непрерывности, доказать, что функция

f (х) = 2 х ² – 3 х + 4 непрерывна в точке х ₀ = 1.

Решение. Заданная функция определена в точке х ₀ = 1 и ее окрестности. Мы должны показать, что бесконечно малому приращению аргумента в точке х ₀ = 1 соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть

, где D f (х ₀) = f (х ₀ + D х) – f (х ₀), D х = х – х ₀.

Вычислим значение функции в точке х ₀ = 1 f (х ₀) = f (1) = 2×1² – 3×1 + 4 = 2 – 3 + 4 = 3.

Дадим х ₀ приращение D х и найдем значение функции при х = х ₀ + D х = 1 + D х.

f (х ₀ + D х) = f (1 + D х) = 2×(1 + D х)² – 3××(1 + D х) + 4 = 2 (1 + 2× D х + (D х)²) – 3 – 3 D х + 4 =

= 2 + 4× D х + 2 (D х)² – 3 – 3 D х + 4 = 2 (D х)² + D х + 3.

Теперь найдем приращение функции в точке х ₀ = 1

D f (х ₀) = D f (1) = f (х ₀ + D х) – f (х ₀) = f (1 + D х) – f (1) = 2 (D х)² + D х + 3 – 3 = 2 (D х)² + D х

Вычислим предел приращения функции при условии, что приращение аргумента D х ® 0

Это и доказывает непрерывность заданной функции в точке х ₀ = 1.

Пример 2. Каков характер разрыва функции

в точке х = 0?

Решение. В этой точке функция разрывна, так как f (0) не существует. Вычислим односторонние пределы при х ® 0 - e и х ® 0 + e, где e > 0, e ® 0, то есть e - бесконечно малая положительная величина

Следовательно, односторонние пределы функции в точке х = 0 существуют, но не равны между собой, f (0 + e) ¹ f (0 - e), поэтому в точке х = 0 функция терпит разрыв 1-го рода. Величина скачка 1 – (-1) = 2. Схематический график функции имеет вид

Пример 3. Исследовать на непрерывность и построить схематический график функции

Решение. В точке х = 0 функция не существует. Следовательно, в этой точке нарушено условие непрерывности и х = 0 является точкой разрыва. Для определения характера разрыва найдем односторонние пределы.

Правосторонний предел:

Действительно, так как e > 0 и e ® 0, то 1/ e - бесконечно большая положительная величина, тогда - также бесконечно большая величина, а обратная ей величина

бесконечно малая, то есть ее предел равен нулю.

Левосторонний предел:

Действительно, так как e > 0 и e ® 0, то 1/ e - бесконечно большая положительная величина, а

бесконечно малая, то есть ее предел равен нулю.

Следовательно, в точке х = 0 имеет место разрыв 1-го рода, так как

, и .

Чтобы построить схематичный график заданной функции, уточним ее поведение при х ® ±¥. В этом случае

Следовательно,

Это означает, что на бесконечности график функции асимптотически приближается к прямой у = 1. График функции схематически изображен на рисунке

Пример 4. Найти точки разрыва функции и установить их характер

Решение. Заданная функция не существует в точке х = 0. Следовательно, нарушается условие непрерывности функции в точке х = 0, а, значит, эта точка является точкой разрыва. Чтобы установить характер разрыва, вычислим односторонние пределы.

Здесь, при e ® 0, а .

При e ® 0 имеем неопределенность вида (¥/¥), т.к. , при e ® 0. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим почленно числитель и знаменатель дроби на

Здесь при e ® 0, а .

В точке х = 0 имеем разрыв первого рода. Установим поведение функции при х ® ±¥.

т.е. график асимптотически приближается к оси Ох.

Пример 5. Найти точки разрыва и построить схематический график функции

Решение. Функция в точке х = 1 не определена, значит, эта точка является точкой разрыва. Найдем односторонние пределы функции в точке х = 1.

Правосторонний предел равен бесконечности, поэтому х = 1 – точка разрыва 2-го рода. На бесконечности график функции асимптотически приближается к прямой у = 1, так как

Схематический график исследуемой функции имеет вид

Пример 6. Найти точки разрыва функции и построить схематический график функции

Решение. Функция определена при всех значениях х, кроме х = ±1. Эта функция элементарна, поэтому она непрерывна во всей области своего определения:

х Î (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; +¥).

Вычислим односторонние пределы:

Следовательно, в точках х = ±1 бесконечный разрыв, т.е. разрыв 2-го рода. Следует отметить, что при х ® ±¥, f (х) ® 0, т.е. график функции приближается асимптотически к оси Ох. Кроме того, график пересекает ось Оу в точке у = -1.

Пример 7. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции

построить схематический график.

Решение. Функция определена, т.е. может быть вычислена при всех значениях х, кроме

х = 0. Вычислим односторонние пределы

Следовательно, функция в точке х = 0 имеет устранимый разрыв. При х ® ±¥ функция стремится к единице

Доопределим функцию, чтобы она стала непрерывной

Пример 8. Найти точки разрыва функции и установить их характер

Решение. Функция не определена в точках х = ±2. Найдем односторонние пределы

;

В точке х = -2 функция терпит разрыв 2-го рода

В точке х = 2 устранимый разрыв.

Пример 9. Исследовать на непрерывность и построить схематичный график

Решение. Данная функция составлена из элементарных функций, которые непрерывны на всей числовой оси. Точками возможного разрыва могут быть только точки, в которых изменяется аналитическое выражение функции, то есть х = 0 и х = p /2.

В окрестности точки х = 0 функция определена двумя различными выражениями: слева и в самой точке х = 0 f (х) = х ² – 1, справа – f (х) = 1. Вычислим односторонние пределы

Значение функции в точке х = 0 равно

Следовательно, односторонние пределы существуют, конечны, но не равны между собой. Таким образом, в точке х = 0 функция имеет разрыв 1-го рода. Скачок равен 2.

В окрестности точки х = p /2 функция задается также двумя различными аналитическими выражениями: слева f (х) = 1, а справа и в самой точке х = p /2 f (х) = sin x

Здесь односторонние пределы конечны, равны между собой и равны значению функции в точке

Следовательно, в точке х = p /2 функция непрерывна.

Схема проведенного анализы наглядно иллюстрируется следующей условной графической интерпретацией

Схематический график заданной функции имеет вид.

Пример 10. Подобрать числа а и b такие, чтобы функция

была непрерывной.

Решение. Для того чтобы функция была непрерывной в точке х = 1, должно выполняться условие

Найдем односторонние пределы

Кроме того, f (1) = 1 + а. Следовательно, чтобы функция была непрерывной, должно выполняться равенство 1 + а = 2 + b или а – b = 1. Это уравнение содержит две независимые величины а и b. Поэтому одной из них мы даем произвольное значение, а вторую находим из имеющегося соотношения. Например, а = 0, тогда b = -1 или а = 2, то b = 1 и т.д.