АЛГЕБРА
И ГЕОМЕТРИЯ
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
«ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ»
Практическое занятие «Прямая линия на плоскости»
Уравнения прямой линии на плоскости. Общее уравнение прямой. Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному направлению. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение двух прямых. Условие параллельности двух прямых, заданных общими уравнениями. Условие параллельности двух прямых, заданных с угловыми коэффициентами. Условие перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями. Условие перпендикулярности двух прямых, заданных с угловыми коэффициентами. Угол между двух прямых, заданных с угловыми коэффициентами. Угол между двух прямых, заданных общими уравнениями. Уравнение пучка прямых.
 |
Образцы решения задач
.
Пример 1. Найти точку пересечения двух прямых 
и 
.
.
Решение. Для нахождения точки пересечения двух прямых нужно составить систему из уравнений этих прямых и найти ее решение.
.
Ответ: 
.
.
Пример 2. Д аны уравнения сторон треугольника 
. Найти координаты всех вершин и площадь треугольника.
.
Решение. 1) Найдем координаты вершины 
:
.
2) Найдем координаты вершины 
:
.
3) Найдем координаты вершины 
:
4) Площадь треугольника с вершинами в точках 
, 
и 
вычисляется по формуле
, где 
.
так как
,
то имеем
.
Ответ: 
.
.
Пример 3. Даны уравнения двух сторон и параллелограмма 
и уравнение одной из его диагоналей 
. Найти координаты всех вершин параллелограмма.
.
Решение. 1) Условимся обозначать точку пересечения сторон и буквой 
; стороны и диагонали буквой ; стороны и диагонали буквой 
.
2) Найдем координаты вершины :
.
3) Найдем координаты вершины :
.
3) Найдем координаты вершины 
:
3) Для нахождения координат вершины 
используем векторное равенство 
. Так как
,
то имеем
.
Ответ: 
.
.
Пример 4. Даны координаты вершин 
, 
и площадь треугольника 
. Найти координаты вершины 
, если она принадлежит прямой 
.
.
Решение. Так как точка 
принадлежит прямой , то её координаты удовлетворяют уравнению этой прямой:
.
Формула для вычисления площади треугольника имеет вид
, где 
.
Так как
,
то согласно данным задачи, будем иметь
.
Рассмотрим два случая:
1) 
;
2) 
.
Ответ: 
.
.
Пример 5. Даны координаты всех вершин треугольника 
. Найти координаты центра масс данного треугольника.
.
Решение. Центр масстреугольника совпадает с точкой пересечения медиан данного треугольника. Найдем точку пересечения медиан треугольника. Для этого составим уравнения всех медиан треугольника.
1) Середину стороны 
обозначим 
. Тогда
.
Составим уравнения прямой, проходящей через две точки 
и 
:
.
2) Середину стороны 
обозначим 
. Тогда
.
Составим уравнения прямой, проходящей через две точки 
и 
:
.
3) Середину стороны 
обозначим 
. Тогда
.
Составим уравнения прямой, проходящей через две точки 
и 
:
.
4) Найдем точку пересечения любых двух медиан, например, медиан 
и 
:
.
5) Проверим, что точка 
принадлежит всем медианам:
,
,
.
Ответ: 
.
.
Пример 6. Даны координаты вершин 
, 
и площадь 
треугольника . Центр масс 
этого треугольника лежит на прямой 
. Найти координаты третьей вершины и центра масс данного треугольника.
.
Решение. Введем обозначения: 
, 
. Тогда координаты центра масс выражаются через координат вершин треугольника с помощью формул:
,
.
Точка 
лежит на прямой . Следовательно,
.
Так как
,
то по формуле для площади треугольника, получим
.
Рассмотрим два случая:
1) 
;
2) 
;
Ответ: 
.
.
Пример 7. Дана прямая общим уравнением и точка 
.
а) Составить общее уравнение прямой 
, проходящей через точку параллельно прямой ;
б) Составить общее уравнение прямой 
, проходящей через точку перпендикулярно к прямой .
.
Решение. а)Уравнением прямой, проходящей через точку 
параллельно прямой 
является
.
Согласно этому замечанию, будем иметь
.
б)Уравнением прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямой является
.
Согласно этому замечанию, будем иметь
.
Ответ: а) 
; б) 
.
.
Пример 8. Дана прямая 
уравнением с угловым коэффициентом и точка 
.
а) Составить уравнение прямой 
с угловым коэффициентом, проходящей через точку параллельно прямой ;
б) Составить уравнение прямой 
с угловым коэффициентом, проходящей через точку перпендикулярно к прямой .
.
Решение. а)Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку 
параллельно прямой 
имеет вид
.
Согласно этому замечанию, будем иметь
.
б)Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку , перпендикулярно к прямой имеет вид
.
Согласно этому замечанию, будем иметь
.
Ответ: а) 
; б) 
.
.
Пример 9. Дана прямая и точка .
а) Составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой ;
б) Составить уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно к прямой .
.
Решение. а)Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой 
имеет вид
.
Согласно этому замечанию, будем иметь
.
б)Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямой имеет вид
.
Согласно этому замечанию, будем иметь
.
Ответ: а) 
; б) 
.
.
Пример 10. Дана прямая и точка .
а) Составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой ;
б) Составить уравнение прямой 
, проходящей через точку перпендикулярно к прямой .
.
Решение. а)Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой 
имеет вид
.
Согласно этому замечанию, будем иметь
.
б)Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямой имеет вид
.
Согласно этому замечанию, будем иметь
.
Ответ: а) 
; б) 
.
.
Пример 11. Найтипроекцию 
точки 
на прямую .
.
Решение. Проекцией точки на прямую является точка пересечения данной прямой и прямой, перпендикулярной данной, проходящей через точку 
.
Составимуравнениепрямой , проходящей через точку перпендикулярно прямой :
Найдем точку пересечения прямых и :
.
Ответ: 
.
.
Пример 12. Найтиточку 
, симметричную точке относительно прямой .
.
Решение. Для нахождения симметричной точки точке относительно прямой нужно:
1) найти проекцию точки на прямую ;
2) найти точку , удовлетворяющей равенству 
.
Найдем проекцию точки на прямую . Для этого составимуравнениепрямой 
, проходящей через точку перпендикулярно прямой :
Найдем точку пересечения прямых и :
.
Найдем решение векторного уравнения 
. Так как
,
то имеем
.
Ответ: 
.
.
Пример 13. Составить уравнение прямой, параллельной прямые 
и 
и проходящей посередине между ними.
.
Решение. Выберем произвольную точку, лежащую на прямой . Для этого одной из переменной присвоим произвольное значение и найдем значение другой переменной. Например, полагая 
, будем иметь
.
Таким образом, точка 
принадлежит прямой . Проведем прямую 
, проходящей через точку 
перпендикулярно прямой :
.
Найдем точку пересечения 
перпендикуляра 
и прямой 
:
.
Найдем точку 
– середину отрезка 
:
.
Искомая прямая проходит через точку 
параллельно прямой :
.
Ответ: 
.
.
Пример 14. Даны точки и . 1) Составить общее уравнение прямой 
, проходящей через данные точки; 2) составить общее уравнение прямой , проходящей через середину отрезка перпендикулярно прямой ; 3) вычислить угловые коэффициенты 
и 
прямых и .
.
Решение. 1) Составим уравнение прямой , как уравнение прямой, проходящей через две точки:
.
2) Найдем точку – середину отрезка :
.
Составим уравнение прямой , как уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно к прямой :
.
3) Найдем угловые коэффициенты прямых и :
,
.
Ответ: 
.
Пример 15. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника 
параллельно противоположным сторонам.
.
Решение. 1) Составим уравнение прямой 
, проходящей через точку 
параллельно стороне 
. Вначале составим уравнение стороны 
, как уравнение прямой, проходящей через две точки:
.
Уравнение прямой 
, составим как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне 
:
.
2) Составим уравнение прямой 
, проходящей через точку 
параллельно стороне 
. Вначале составим уравнение стороны , как уравнение прямой, проходящей через две точки:
.
Уравнение прямой 
, составим как уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно стороне 
:
.
3) Составим уравнение прямой 
, проходящей через точку 
параллельно стороне 
. Вначале составим уравнение стороны , как уравнение прямой, проходящей через две точки:
.
Уравнение прямой , составим как уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно стороне :
.
Ответ: 
,
.
Пример 16. Даны середины сторон треугольника . Составить уравнения его сторон.
.
Решение. 1) Составим уравнение стороны , проходящей через точку 
параллельно прямой . Вначале составим уравнение прямой , как уравнение прямой, проходящей через две точки:
.
Уравнение стороны , составим как уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно прямой :
.
2) Составим уравнение стороны 
, проходящей через точку 
параллельно прямой . Вначале составим уравнение прямой , как уравнение прямой, проходящей через две точки:
.
Уравнение стороны , составим как уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно прямой :
.
3) Составим уравнение стороны , проходящей через точку 
параллельно прямой . Вначале составим уравнение прямой , как уравнение прямой, проходящей через две точки:
.
Уравнение стороны , составим как уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно прямой :
.
Ответ: 
,
.
Пример 17. Даны координаты вершин треугольника 
. Составить уравнения его высот 
, 
и 
.
.
Решение. 1) Составим уравнение высоты 
. Для этого составим уравнение стороны 
как уравнение прямой, проходящей через две точки:
.
Уравнение высоты составим как уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно стороне :
.
2) Составим уравнение высоты . Для этого составим уравнение стороны как уравнение прямой, проходящей через две точки:
.
Уравнение высоты составим как уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно стороне :
.
3) Составим уравнение высоты . Для этого составим уравнение стороны как уравнение прямой, проходящей через две точки:
.
Уравнение высоты составим как уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно стороне :
.
Ответ: 
,
.
Пример 18. Даны уравнения сторон треугольника 
. Найти точку 
пересечения его высот.
,
.
Решение. Достаточно найти точку пересечения двух высот треугольника, так как все три высоты треугольника пересекаются в одной точке.
1) Координаты вершины 
найдем как точку пересечения сторон 
и 
:
.
2) Координаты вершины 
найдем как точку пересечения сторон и 
:
.
3) Уравнение высоты 
составим как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно стороне :
.
4) Уравнение высоты составим как уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно стороне 
:
.
5) Найдем точку 
как точку пересечения высот и 
:
.
Ответ: 
.
.
Пример 19. Даны уравнения сторон треугольника 
. Составить уравнения его высот 
, и .
,
.
Решение. Найдем координаты всех вершин данного треугольника.
1) Координаты вершины найдем как точку пересечения сторон и :
.
2) Координаты вершины найдем как точку пересечения сторон и :
.
3) Координаты вершины найдем как точку пересечения сторон и :