Задания для проведения экзамена по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» за 1семестр
Экзаменационные вопросы
1. Действительные и комплексные числа.
2. Приближенное значение числа. Абсолютная погрешность.
3. Приближенное значение числа. Относительная погрешность.
4. Вычисления с приближенными данными.
5. Числовая функция. Способы задания функции.
6. Область определения функции. График функции.
7. Арифметическая прогрессия.
8. Геометрическая прогрессия.
9. Преобразование сдвига графика функции.
10. Преобразование симметрии графика функции.
11. Преобразование сжатия графика функции.
12. Степенная функция ее графики и свойства.
13. Показательная функция ее графики и свойства.
14. Определение логарифма. Следствие из определения.
15. Тождества логарифмирования и потенцирования.
16. Формула перехода логарифма к новому основанию. Следствия из формулы.
17. Логарифмическая функция ее графики и свойства.
18. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва графика функции.
19. Градусное и радианное измерение углов.
20. Формулы приведения тригонометрических функций.
21. Соотношения между тригонометрическими функциями.
22. График и свойства функции у = cos x. у = sin x.
23. График и свойства функции у = tg x.у = ctg x.
24. Формулы суммы и разности аргументов тригонометрических функций.
25. Формулы суммы и разности тригонометрических функций.
26. Формулы произведения тригонометрических функций.
27. Формулы двойного аргумента тригонометрических функций.
28. Формулы понижения степени и половинного аргумента тригонометрических функций.
29. Решение простейших тригонометрических уравнений.
30. Векторы на плоскости и в пространстве.
31. Действия над векторами.
32. Разложение вектора на составляющие.
33. Координаты вектора.
34. Уравнение прямой линии и плоскости.
35. Уравнение окружности.
Примерные экзаменационные задания
1. Вычислите на МК: ln4 + log2 34 – 2/√15
2. По графику перечислите свойства функции: у = х + 2.
3. Решите уравнение: cos2x = 1/2.
4. Дано: а (5; 3), в (-1; -3). Постройте: с = а + в.
5. По плану постройте график функции: у = -2 х + 3.
6. Решите уравнение: 2х2 + 4х = 0.
7. Вычислите: sin135 0 + cos120 0 – tg750 0.
8. Прологарифмируйте по основанию 10: х = √ав/√с
9. Постройте векторы: а(2; -3), в (3; 4), с = а + в.
10. Упростите: (cos2х +sin 2 х)/cosх.
11. Дано: А(-2; 4), В(3; 2). Найдите: АВ.
12. Вычислите: 2 -3 + log216 – 5 2.
13. Дано: в1 = 3, в2 = 6. Найдите: S4
14. Вычислите на МК: 1, 3 3 + lg5 – log2 10.
15. Дано: АВСD параллелограмм. Выразите: АС через ВА и АD.
16. Решите уравнение: sin2х = ½.
17. Постройте по плану график функции: у = - √х + 4.
18. Пропотенцируйте: lgх = 1/3lg а + 3 lgв – 2 lgс.
19. Дано; cosα=- ½, α Є ||четверти. Найдите: sinα, tgα, ctgα.
20. Вычислить: cos(3π - π/3) + tg(-135 0).
21. Дано: а2 = 3, а 3 = 1. Найдите: S4.
22. Вычислите: 10 0 + lg10 – log3 27 + 2 -4.
23. Найдите периметр прямоугольника, если его длина а = 11,2 + 0,1 (м), ширина в = 4,42 + 0, 02 (м).
24. Дано: cos α= ½,α Є 4 четверти. Найдите: sinα, tgα, ctgα
25. Найдите границу относительной погрешности: а = 2,4 + 0,2.
26. Вычислите: sin (-13π/6) + 4 cos (-19π /3) +tg π/4.
27. Дано: а(-2; 4), в(1; 3). Постройте: с = а – в.
28. Вычислите: sin135 0 + tg(-120 0).
29. Какое из двух измерений точнее а = 1,87 + 0,01 (м), в = 12,4 + 0,02 (м)?
30. Докажите тождество: sin(α +π) +tg (α - π) + cos(3π/2 + α) =tgα.
31. Дано: а= (-3; 2), в (4; 3). Постройте: с = а + в.
32. Решите уравнение: tg5х = - √3.
33. Вычислите: 2 3 + (1/3) 0 – (¼) -2 + lg100 – ln e 2.
34. Решите уравнение: 2 cosx = 1.
35. Постройте линию: (х – 2) 2 + (у + 3)2 = 4.
36. Вычислите на МК: log4 15, cos127 0, 1/√13.
37. По плану постройте график функции: у = 2 х2+ 1.
38. Постройте линию: у –х = 2.
39. Постройте график и назовите свойства функции: у = (1/2)х + 1.
40. Дано; АВСD параллелограмм, (АС)∩ (ВD) = О. Выразите вектор ОС через векторы АВ и ВС.
41. Вычислите: z1+ z2. если z1 = 2 + i, z2 = 1 - i.
42. По графику перечислите свойства функции: у = х2 – 4.
43. Пропотенцируйте: lgх = 2lga – 3lgb + ½lgc.
44. По плану постройте график функции; у = (х – 1)2 + 2.
45. Найдите z1 + 2 z2. если z1 = 2 + i, z2 = 1 - i.
46. Прологарифмируйте по основанию 10: х = √a 3 b/ab.
47. Дано: b2 = 2, b3 = 6. Найдите S 4.
48. Постройте линию: 2х – у + 3 = 0.
49. По графику перечислите свойства функции у = 1/(х – 3).
50. Вычислите: √a +bc, если a ≈12,4; b≈ 0,24; c ≈135.
51. Решите уравнение: lg(х + 2) = 1.
52. Вычислите на МК: sin127 0 + tg2 рад.
53. По плану постройте график функции; у = (х – 2)2 + 1.
54. Вычислите: 2 4 + 2 -2 + log 2 16 – lg0,1.
55. Дано: ∆АВС, АМ – медиана. Выразите в векторах МВ через АВ и АС.
56. Найдите b 6, если b1 = 1/9, b3 = 1.
57. Вычислите: 3 2 – (1/3) -1 + log 3 9 – lg10
58. Прологарифмируйте по основанию 10: х =√b/ab 2.
59. Найдите границу относительной погрешности а = 18,4 + 0,2
60. По плану постройте график функции: у = - log 2 х + 1.
61. Вычислите: а 5 – ав, если а≈ 4,5, в≈ 10,84.
62. График и свойства функции у = cos х.
63. Вычислите: а3 – в/с, если а ≈1,84, в≈ 12,3, с ≈ 0,24.
64. В какой четверти находятся углы: -420.; -19 π/3; 1274 0?
65. По графику перечислите свойства функции: у = (х + 2)3.
66. По графику перечислите свойства функции: у = log2 (х +1).
67. Какое из двух измерений точнее? а = 12,44 + 0,01; в = 2,4 + 0,1.
68. Дано: а(-2;4), в(1; 3). Постройте вектор с = а + в.
69. Вычислите: log 2 8 + 2log 8 2 + 2 0 + (1/2) -2.
70. По графику перечислите свойства функции: у = х 2 +2.
71. Свойства и график функции: у = sinх.
72. Дано: а2 =3, а5 = 5. Найдите S5.
Образец заданий в билете
1. Приближенное значение числа. Относительная погрешность.
2. По плану постройте график функции: у = -2 х + 3.
3. Вычислите: sin135 0 + cos120 0 – tg750 0.
4. Постройте векторы: а(2; -3), в (3; 4), с = а + в.
1. Числовая функция. Способы задания функции.
2. Упростите: (cos2х +sin 2 х)/cosх.
3. Дано: А(-2; 4), В(3; 2). Найдите: АВ.
4. Вычислите: 2 -3 + log216 – 5 2.
Вопросы к экзамену ПКС -31.
Теория вероятностей и математическая статистика
1. Математика и научно-технический прогресс.
2. Графы и их виды.
3. Теоремы в теории графов
4. Основные понятия комбинаторики.
5. Комбинаторные элементы с повторениями.
6. Комбинаторные элементы без повторений.
7. События, их виды. Вероятность события.
8. Вероятности сложных событий.
9. Полная вероятность. Формула Байесса.
10. Испытания Бернулли. Формула Бернулли.
11. Дискретная случайная величина (ДСВ)и ее характеристики.
12. Биномиальное распределение ДСВ.
13. Геометрическое распределение.
14. Непрерывная случайная величина (НСВ) и ее характеристики.
15. Понятие. функция плотности, интегральная функция распределения НСВ
16. Равномерно распределенная НСВ.
17. Геометрическое определение вероятности.
18. Нормальное распределение НСВ.
19. Показательное распределение НСВ.
20. Центральная предельная теорема.
21. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
22. Задачи математической статистики.
23. Генеральная совокупность и выборка. Характеристики выборки.
24. Статистические оценки параметров распределения.
25. Моделирование случайных величин. Метод статистических испытаний.
Некоторые примеры и задачи на экзамене.
1. Cлучайная величина Х задана плотностью f(x) = 2х на (1;6) и вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание и дисперсию Х.
2. Найдите вероятность того, что при 3 бросках решка выпадет 2 раза.
3. Сколько двухзначных чисел можно составить из цифр «2,3,4,5»?.
4. Найдите число сочетаний из 7 по 5 элементов.
5. Найдите вероятность того, что при 3 бросках игрального кубика шесть очков выпадет выпадет 2 раза.
6. По выписанным оценкам «5, 5, 4, 3, 3, 2, 5, 4, 3, 3, 2, 3, 5, 4» постройте полигон частот.
7. Найдите число размещений из 7 по 4 элементов.
8. Найдите вероятность того, что при 3 бросках игрального кубика выпадет 2 раза число очков кратное 3.
9. Для выборки «5, 5, 4, 3, 3, 2, 5, 4, 3, 3, 2, 3, 5, 4» найдите дисперсию генеральной совокупности.
10. Определите степень одной вершины полного графа, имеющего форму куба.
11. По выписанным оценкам «5, 5, 4, 3, 3, 2, 5, 4, 3, 3, 2, 3, 5, 4, 5, 3, 3» найдите средний балл.
12. Вероятность того, что студент сдаст экзамен на «5» равна 0,1, на «4» - 0,3, на «3» - 0,2. Какова вероятность, что студент не сдаст экзамен?
13. Hепрерывная случайная величина Х равномерно распределена на [-7;8] Hайти вероятность, что случайная величина примет значения из (-1;3)
14. Имеются два ящика. В первом 3 белых и 5 черных шаров, во втором 2 белых и 8 черных шаров. Наугад берут ящик и извлекают один шар. Какова вероятность, что шар будет белым?
15. Найдите вероятность того, что при 5 бросках решка выпадет 2 раза.
16. Cлучайная величина Х задана плотностью f(x)= 3х на (0;4) и вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание и дисперсию Х.
17. Найдите число перестановок из 7 элементов.
18. Для полного графа из 4 вершин покажите верность теоремы о степенях вершин.
19. По выписанным оценкам «5, 5, 4, 3, 3, 2, 5, 4, 3, 3, 2, 3, 5, 4» найдите выборочную дисперсию.
20. Покажите на графе минимальное число дорог, соединяющие 5 городов между собой.
21. Найдите число перестановок из 8 элементов.
22. Построить разные виды графов для 4 вершин.
23. Вероятность всхожести семян огурцов 0,6. Сколько надо посадить семян, чтобы взошло 54 семечка?
24. Покажите на графе все двузначные числа, составленные из цифр «3,4,5,6».
25. Имеются два ящика. В первом 4 белых и 5 черных шаров, во втором 2 белых и 7 черных шаров. Наугад берут ящик и извлекают один шар. Какова вероятность, что шар будет белым?.
26. Имеются два ящика. В первом 3 белых и 6 черных шаров, во втором 2 белых и 5 черных шаров. Наугад берут ящик и извлекают один шар. Какова вероятность, что шар будет черным?.
27. Из В в А ведут 5 дорог. Из В в С ведут 3 дороги. Сколькими способами можно из А попасть в С?
28. Сколько танцующих пар можно образовать из 5 юношей и 7 девушек?.
29. Из 10 изделий 3 бракованные. Найти вероятность, что из 4 взятых на контроль попадется одно бракованное
30. Сколько символов можно закодировать 5 единицами и 6 нулями?
31. Найдите число перестановок из 6 элементов.
32. Найдите вероятность того, что при 3 бросках игрального кубика пять очков выпадет 2 раза.
33. Постройте разные виды графов с пятью вершинами.
34. Сколько различных букетов можно составить из трех видов роз по пять штук в букете?
35. Найдите вероятность того, что при 4 бросках решка выпадет 2 раза.
36. По выписанным оценкам «5, 5, 4, 3, 3, 2, 5, 4, 3, 3, 2, 3, 5, 4» постройте полигон частот.
37. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр «2, 3, 4.5»?
38. Найдите вероятность того, что при 5 бросках решка выпадет 2 раза.
39. Для выборки «5, 5, 4, 3, 3, 2, 5, 4, 3, 3, 2, 3, 5, 4, 5, 4» постройте полигон относительных частот.
40. Найдите вероятность того, что в слове «математика» случайно откроют букву «м».
41. Постройте граф с кратными ребрами и петлями.
42. Покажите на графе все двузначные числа, составленные из цифр «3,4,5».
43. Найдите вероятность того, что при 3 испытаниях событие произойдет 2 раза, если вероятность события в каждом испытании 0,7.
44. Найдите число сочетаний из 7 по 4 элемента.
45. Найдите вероятность того, что в слове «информатика» откроют случайно букву «и».
46. Найдите число перестановок из 8 элементов, в которых 3 элемента не различимы.
47. Значение непрерывной случайной величины Х принадлежит [2;10]. Какова вероятность попадания Х на отрезок [ 3;6]?
48. Постройте полный граф из пяти вершин.
49. В слове «математика» открыли две буквы. Какова вероятность, что это буквы «м» и «и»?.
50. Найдите вероятность того, что при 4 бросках решка выпадет 3 раза.
51. Сколько существует трехзначных чисел, в которых цифры не повторяются?.
52. Найдите вероятность того, что при 4 бросках решка выпадет 2 раза.
53. Постройте полный граф из шести вершин.
54. Найдите число перестановок из 6 элементов, в которых 3 элемента не различимы.
Образец заданий в билете:
1. Дискретная случайная величина (ДСВ)и ее характеристики.
2.Решить при помощи графов: Сколько пар образуют 3 девушки и 2 юношей?
3. Найдите число перестановок из 7 элементов, в которых 3 элемента не различимы.
4. В первой коробке 5 белых и 6 красных шаров, во второй 4 белых и 8 красных шаров. Какова вероятность, что купленный красный шар из первой коробки.
Вопросы к дифференцируемому зачету для групп ТЭО-21 по дисциплине «Математика».
1.Математика и научно-технический прогресс.
2.Матрицы. Операции над матрицами.
3.Определители второго и третьего порядка.
4.Системы линейных уравнений и методы их решения.
5.Комплексные числа. Операции над комплексными числами.
6.Формы записи комплексных чисел и их применение.
7.Функции, пределы, непрерывность.
8.Производная. Физический смысл производной.
9.Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке х0.
10.Дифференциал функции и его геометрический смысл. Формула для приближенного вычисления.
11.Производная. Условие постоянства, возрастания и убывания функции.
12.Экстремум функции. Схема исследования функции на экстремум.
13.Исследование функции для построения графика.
14.Неопределенный интеграл и его свойства.
15.Геометрический и физический смысл неопределенного интеграла
16.Определенный интеграл и его свойства.
17.Геометрический смысл определенного интеграла.
18. Физические и геометрические задачи на определенный интеграл.
19.Методы интегрирования.
20.Основные понятия комбинаторики.
21.События, их виды. Вероятность события.
22.Испытания Бернулли. Формула Бернулли.
23.Формулы для вычисления вероятности событий.
24.Случайная величина и ее характеристики.
25.Генеральная совокупность и выборка.
26.Задачи математической статистики.
27.Характеристики выборки. Оценка генеральной совокупности.
28.Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.