Вопрос: Понятие определенного интеграла
Понятие определенного интеграла
П 
усть дана функция 
, определенная на отрезке 
. Этот отрезок разобьем на 
элементарных отрезков, шириной 
, где 
- номер отрезка. В каждом из этих элементарных отрезков выберем произвольную точку 
. Значение функции в этой точке 
умножим на длину отрезка 
, получим произведение 
, равное площади выделенного прямоугольника (см. рисунок).
Далее составим сумму всех таких произведений (сумму всех таких прямоугольников): 
Эта сумма называется интегральной суммой для функции 
на отрезке 
.
Определенным интегралом от функции на отрезке называется конечный предел ее интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина их стремится к нулю.
Определенный интеграл обозначается символом 
(читается: определенный интеграл от 
до 
); 
называется подынтегральной функцией, 
- переменной интегрирования, - нижним, - верхним пределом интегрирования.
Следовательно, по определению
Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
, прямыми 
, 
и осью 
.
Теорема (существования определенного интеграла).
Если функция непрерывна на 
, то для нее существует определенный интеграл, т.е. существует предел интегральной суммы, составленный для функции 
на 
, и этот предел не зависит от способа разбиения 
на элементарные части и от выбора в них точек , при условии, что 
и наибольший 
.
Отметим, что определенный интеграл - это число, в то время как неопределенный интеграл - это функция.
Вопрос:. Основные свойства определенного интеграла.
1. 
.
2. 
- интеграл от конечного числа алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов.
3 
. 
- определенный интеграл равен нулю при равенстве верхнего и нижнего пределов.
Замечание. До сих пор мы предполагали, что 
и 
. Понятие определенного интеграла распространяется и на случай, когда 
и 
(см. рисунок).
4. 
- при перемене верхнего и нижнего пределов интеграл меняет знак.
5. 
-постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
6. 
если 
- неравенство можно почленно интегрировать.
7. 
- модуль от интеграла меньше или равен интегралу от модуля. Этот пункт отражает известную теорему: Модуль суммы меньше или равен суммы модулей.
\Теорема о среднем. Если функция 
интегрируема на отрезке 
и для всех 
выполняется неравенство 
, то
Вопрос:.Формула Ньютона-Лейбница вычисления определенного интеграла. Замена переменной под знаком определенного интеграла.
Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы очень сложно.
Ньютон и Лейбниц доказали теорему, связывающую два важных понятия математического анализа - интеграла и производной. Эта теорема выражается соотношением ( формула Ньютона-Лейбница )
Таким образом, для того чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции 
на отрезке 
, надо найти ее первообразную функцию 
и взять разность 
значений этой первообразной на концах отрезка 
.
Еще раз отметим, что определенный интеграл это число, в то время как неопределенный - это функция. Поэтому совершенно все равно, по какой переменной (букве) ведется интегрирование
Например, вычислить интеграл 
. Имеем
Или, вычислить интеграл 
. Имеем
