Правило суммы
Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y {или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества Y.
То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами.
Примеры задач
1. Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?
Решение: X = 17, Y = 13
По правилу суммы XUY = 17+13=30 тем.
2. Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет из спортлото или автомотолотереи?
Решение: Так как денежно-вещевая лотерея в выборе не участвует, то всего 6+10 = 16 вариантов.
Правило произведения
Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами, то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами.
То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10 = 50 способами.
Примеры задач
1. Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?
Решение: Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3 = 36 вариантов переплета.
2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя - как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z - любые цифры, а X - не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9*10*10 = 900 вариантов.
Размещения без повторений
1. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?
Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном порядке считаются разными.
Если X-множество, состоящие из n элементов, m?n, то размещением без повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов.
Количество всех размещений из n элементов по m обозначают n! - n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел натурального ряда от 1 до какого либо числа
n n! = 1*2*3*...*n 0! = 1
Значит, ответ на вышепоставленную задачу будет…
2. Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец?
Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку.
И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому возможно 360 вариантов.
Перестановки без повторений
комбинаторика множество сумма повторение
В случае n = m (см. размещения без повторений) из n элементов по m называется перестановкой множества x.
Количество всех перестановок из n элементов обозначают Pn.
Pn = n!
Действительно при n = m.
Размещения и сочетания с повторениями
Часто в задачах по комбинаторике встречаются множества, в которых какие-либо компоненты повторяются. Например: в задачах на числа - цифры.
Для таких задач при размещениях используется формула, а для сочетаний...
Примеры задач
1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Решение. Так как порядок цифр в числе существенен, цифры могут повторяться, то это будут размещения с повторениями из пяти элементов по три, а их число равно …
2. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: эклеры, песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных.
Решение: Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают купленные пирожные в коробку. Покупки будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта.
Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний четырех видов пирожных по семь.
3. Обезьяну посадили за пишущую машинку с 45 клавишами, определить число попыток, необходимых для того, чтобы она наверняка напечатала первую строку романа Л.Н. Толстого «Анна Каренина», если строка содержит 52 знака и повторений не будет?
Решение: порядок букв имеет значение. Буквы могут повторяться.
Значит, всего есть … вариантов.
Перестановки с повторениями
n-количество всех элементов, n1, n2,…, nr - количество одинаковых элементов.
Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).
Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания: ab, ac, bc.
Число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом Cnk и вычисляется по формуле:
| Cnk | = | n! |
| k!(n - k)! |
Случайные события.
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например если брошена монет она может упасть вверх гербом или вверх надписью. Поэтому событие?при бросании монеты выпал герб? - случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение герба, есть следствие действия многих случайных причин (сила с которой брошена монета, форма монеты, вес и т.д.). Не возможно учесть влияние этих причин на результат, по сколку их число очень велико, по этому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать. Произойдет единичное событие или нет.
В дальнейшем, вместо того чтобы говорить?совокупность условий S осуществлена?, будем говорить кратко?произведено испытание?. Таким образом, события будет рассматривается как результат испытания.
.Классификация случайных событий.
Полной группой событий называются несколько событий таких что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.
События называют несовместными, если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании.
События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Действия над случайными событиями и отношения между ними определяются по аналогии с действиями и отношениями в теории множеств.
Обозначаем 
А, если 
— элементарный исход события А; А 
В, если событие А влечет за собой В; А, В 
Равенство (эквивалентность) событий: А = В, если А 
В и В 
А.
О: Суммой 
событий A и В называется их теоретико-множественное объединение, т.е. событие, состоящее из элементарных событий 
или В. 
Произведением АВ (А 
В) событий А и В называется их теоретико-множественное пересечение, т.е. событие, состоящее из элементарных событий: 
А и 
В. Разностью 
событий Аи В называется их теоретико-множественная разность, т.е. событие, состоящее из элементарных событий 
но 
В. Противоположным событием 
для события A 
называется теоретико-множественное дополнение А до 
т.е. 
происходит тогда, когда А не происходит.
Свойства операций над событиями:
1. А+В=В+А, АВ=ВА – переместительное свойство
2. (А+В)?С=А?С+В?С, А?С+В=(А+В)?(А+С) – распределительное свойство
3. (А+В)+С = А+(В+С), (АВ)?С=А?(ВС) – сочетательное свойство
4. А+А=А, А?А=А
5. 
А+?=?, А?? = А
6. 
=?, 
?
7. А-В=А? 
8. 
, 
- законы де Моргана.
2. Вероятность суммы событий..
Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Следствие 1: Если события 
образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.
Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.
Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
