УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Специальность

Прикладная математика и информатика

УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой дифференциальныхуравнений

Проф. Шашкин А. И.

«» ______________________ 2007 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

1. Шифр и наименование специальности:

010501 Прикладная математика и информатика

2. Уровень образования: Высшее профессионально образование

3. Форма обучения: Очная

4. Код и наименование дисциплины (в соответствии с учебным планом):

ЕН. Ф. 01. 1.1. Математический анализ

5. Кафедра, отвечающая за дисциплину:

Кафедра дифференциальных уравнений

6. Составители:

Мешков В.З., д.ф.-м.н., профессор, факультет ПММ, кафедра дифференциальных уравнений,

Ларин А.А., к.ф.-м.н., доцент, факультет ПММ, кафедра дифференциальных уравнений,

Половинкин И.П., к.ф.-м.н., доцент, факультет ПММ, кафедра дифференциальных уравнений,

Виноградова Г.А., к.ф.-м.н., доцент, факультет ПММ, кафедра дифференциальных уравнений,

7. Кем рекомендовано к использованию в учебном процессе:

Кафедрой дифференциальных уравнений

Протокол о рекомендации № 1 от 9 сентября 2005 г.

8. Учебный год: 2005/2006, семестр 1,2,3,4

Количество часов, отводимых на изучение дисциплины в

соответствии с планом учебного процесса:

Аудиторные занятия: 420, в том числе:

лекции: 210

практики: 210

Самостоятельная работа: 250

Всего часов: 670

10. Количество контрольных работ, предусмотренных учебным планом: 16

11. Формы итогового контроля:

Зачёт - 1,2,3,4 семестр,

Экзамен - 1,2,3,4 семестр

12. Тематика (по ГРНТИ): Математика

13. Поисковый образ (ключевые слова):

последовательность; предел последовательности; функция; непрерывность; предел функции; производная; дифференциал; формула Тейлора; правило Лопиталя; интеграл; несобственный интеграл; числовой ряд; функциональный ряд; ряд Фурье; криволинейный интеграл; экстремум; условный экстремум

14. Цели и задачи изучения дисциплины:

Цель курса сообщить сведения по математическому анализу в объеме, необходимом для изучения смежных дисциплин физико-математического цикла и для свободной ориентации в вопросах анализа и его приложений, которые могут встретиться в теоретической и практической работе; выработать навыки применения основных методов и приемов математического анализа для решения конкретных задач. Задачи курса – усвоение основных идей и фактов дифференциального и интегрального исчисления, теории меры и интеграла и элементов комплексного и гармонического анализа. Имеется в виду достаточно глубокая проработка теоретических аспектов и практическая сторона предмета.

15. Основные знания, умения и навыки, которыми студент должен овладеть в результате изучения дисциплины:

В процессе обучения студенты должны изучить такие понятия математического анализа как последовательность, функция (функция многих переменных), интеграл (неопределенный, определенный, n- кратный, криволинейный, поверхностный, несобственный, зависящий от параметра), ряд (числовой, функциональный, Фурье); приобрести навыки вычислений пределов последовательностей и функций, навыки доказательств основных теорем о пределах; навыки вычисления производных, применения аппарата дифференциального исчисления к исследованию функций, вычислению пределов функций, навыки доказательств основных теорем дифференциального исчисления, навыки вычисления интегралов, навыки доказательства основных теорем интегрального исчисления, навыки доказательств основных теорем о числовых и функциональных рядах, в том числе о степенных рядах и рядах Фурье, навыки исследования вопроса сходимости ряда.

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН И СЕТКА ЧАСОВ ДИСЦИПЛИНЫ

№ п/п	Название темы*	Лекции (час)	Практич. занятия (час)	Лаборат. занятия (час)	Самост. работа (час)	Формы текущего контроля
	Введение					проверка д.з., опрос
	Теория последовательностей					проверка д.з., опрос, к.р.
	Пределы функций					проверка д.з., опрос, к.р.
	Дифференциальное исчисление функций вещественной переменной					проверка д.з., опрос, к.р.
	Первообразная функции и неопределенный интеграл					проверка д.з., опрос, к.р.
	Определенный интеграл Римана					проверка д.з., опрос, к.р.
	Несобственные интегралы					проверка д.з., опрос, к.р.
	Числовые ряды					проверка д.з., опрос, к.р.
	Функциональные последовательности и ряды					проверка д.з., опрос, к.р.
	Ряды Фурье					проверка д.з., опрос, к.р.
	Функции нескольких переменных					проверка д.з., опрос, к.р.
	Интегралы, зависящие от параметра					проверка д.з., опрос, к.р.
	Несобственные интегралы, зависящие от параметра					проверка д.з., опрос, к.р.
	Криволинейные интегралы					проверка д.з., опрос, к.р.
	Двойные и n-кратные интегралы					проверка д.з., опрос, к.р.
	Поверхностные интегралы					проверка д.з., опрос, к.р.
	Элементы теории поля					проверка д.з., опрос, к.р.
	Несобственные кратные интегралы					проверка д.з., опрос
	Интеграл Стилтьеса. Интеграл Лебега.					проверка д.з., опрос

Рабочая программа дисциплины должна соответствовать Государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования и Плану учебного процесса соответствующей специальности (направления)

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ

Лекции

№ темы

№ лекции

План лекции

Ссылки на литературу* для обязательного изучения

Ссылки на литературу* для самостоятельной работы

Формы текущего контроля

Множества и операции над ними. Понятия отображения, функции. Сюръективные, инъективные и биективные отображения. Понятие обратной функции и сложной функции. Использование специальных и логических символов.

[2], Т.1, С.5-15

Вещественные числа и их основные свойства. Абсолютная величина вещественного числа. Аксиома полноты (непрерывности). Числовые множества, понятие расширенной числовой прямой, окрестности, промежутки. Ограниченные и неограниченные множества. Точные верхние и нижние грани числовых множеств, их существование

[2], Т..1, С.15-20, 27-30,33-42

[2], Т..1, С.15-20, 27-30, 33-42

Символы n!, n!!, C_n^k. Бином Ньютона. Принцип вложенных отрезков. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. Теорема Кантора.

[2], Т.1, С.44-48. 82-85

Числовые последовательности. Определение предела числовой последовательности. Вычисление пределов на основе определения предела числовой последовательности. Сходящиеся, расходящиеся, бесконечно большие последовательности. Единственность предела числовой последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.

[2], Т.1, С.48-55, 59-60

Переход к пределу в неравенствах. Понятие подпоследовательности. Лемма о пределе подпоследовательности.

[2], Т.1, С.56-59

Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число e. Теорема Больцано-Вейерштрасса (свойство компактности ограниченной последовательности). Частичные пределы.

[2], Т.1, С. 60-65

[2], Т.1, С.60-65

Фундаментальные последовательности и критерий Коши. Бесконечно малые последовательности. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями над последовательностями.

[2], Т.1, С. 65-72

Верхний и нижний пределы последовательности. Теорема существования. Необходимое и достаточное условие того, что b (a) -- верхний (нижний) предел числовой последовательности. Критерий существования предела.

[2], Т.1, С.86-89

Числовые функции. Точки прикосновения, изолированные точки и предельные точки множеств. Определение предела функции в точке по Гейне. Свойство “локальности” предела. Условие существования предела (метод “смешивания”). Определение предела функции по Коши.

[2], Т.1, С.89-106

10.

Критерий Коши существования предела функции в точке. Свойства пределов функций.

[2], Т.1, С.107-110, С. 113-115

11.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их основные свойства. Сравнение функций в окрестности точки. О – символика (символы Ландау). Понятие асимптотического равенства. Главная часть функции в точке.

[1], Ч.1, С.119-121, [2], Т.1, С.144-154

12.

Различные формы записи непрерывности функции в точке. Функции, разрывные в точке. Классификация точек разрыва функций. Понятие одностороннего разрыва. Непрерывность функции на множестве.

[1], Ч.1, С.127-131, 162-166

13.

Теорема о пределах монотонной функции. Разрывы монотонной функции. Условие непрерывности монотонной функции. Предел и непрерывность композиции функций.

[2], Т.1, С.111-113, 120, [5], Т.1, С.154,155

14.

Теорема Больцано-Коши и следствие из нее. Теорема существования, монотонности и непрерывности обратной функции у монотонной непрерывной функции. Теорема Вейерштрасса.

[2], Т.1, С. 121-129

15.

Элементарные функции и их непрерывность. Замечательные пределы.

[2], Т.1, С. 131-144

16.

Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора. Колебание функции на промежутке.

[1], Ч.1, С.176-180

17.

Производная функции в точке. Определение односторонних производных. Производные на концах промежутка. Определение функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции. Критерий дифференцируемости. Дифференциал аргумента функции. Непрерывность дифференцируемой функции.

[1], Ч.1, С.189-197

18.

Дифференцировние суммы, произведения и частного дифференцируемых функций. Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

[1], Ч.1, С.197-205

19.

Производные высших порядков. Формула Лейбница. Дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы дифференциалов высших порядков.

[1], Ч.1, С.213-220

20.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

[2], Т.1, С. 192-201

21.

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

[2], Т.1, С. 201-205

22.

Формула Тейлора для многочлена. Разложение произвольных функций: формула Тейлора с дополнительным членом в форме Лагранжа, Коши и Пеано. Единственность многочлена Тейлора. Примеры разложений по формуле Тейлора.

[3] Т.1, С. 183-190, [2], Т.1, С. 214-215

23.

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций. Необходимое и достаточное условие монотонности функции на интервале. Достаточное условие строгой монотонности. Локальные экстремумы функций. Достаточное условие локального экстремума функции в терминах смены производной. Достаточное условие локального экстремума функции, имеющей производные высших порядков.

[2], Т.1, С. 221-230

24.

Понятие выпуклости функции. Определение точек перегиба. Необходимое и достаточное условие выпуклости функции. Нахождение точек перегиба.

[5], Т.1, С. 294-305

25.

Асимптоты графика функции. Исследование функций и построение графиков функций.

[2], Т.1, С. 236-241

26.

Функции, заданные параметрически. Вычисление производных высших порядков от параметически заданных функций.

[2], Т.1, С. 188-192

Исследование функций, заданных параметрически и построение их графиков.

[2], Т.1, С. 242-248

ЭКЗАМЕН

28.

Определение первообразной функции. Свойства первообразной функции. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла Табличное интегрирование

[2], Т.1, С. 378-384

29.

Интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование рациональных функций

[2], Т.1, С. 384-389, 412-416

30.

Интегрирование рациональной функции от степеней дробно-линейной функции. Интегрирование функций, содержащих корень из квадратного трехчлена. Подстановки Эйлера.

[2], Т.1, С. 421-426

31.

Интегрирование дифференциального бинома. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометриче ская подстановка. Обзор частных случаев.

[2], Т.1, С. 426-428, 431-434

32.

Интегралы от трансцендентных функций, вычисляемые с помощью интегрирования по частям Интегрирование гиперболических функций

[2], Т.1, С. 434-436

33.

Некоторые специальные приёмы вычисления интегралов Неопределенные интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

[2], Т.1, С. 436-438, [5], Т.2, С. 66- 72

34.

Интегрируемость функции по Риману. Определение определенного интеграла Римана в терминах интегральных сумм Римана. Геометрический смысл интегральной суммы Римана. Интегрируемость постоянной на отрезке функции. Ограниченность интегрируемой на отрезке функции. Неинтегрируемость функции Дирихле.

[1], Ч.1, С.330-333

35.

Верхние и нижние суммы Дарбу. Геометрический смысл сумм Дарбу. Свойства сумм Дарбу: оценки интегральных сумм Римана, приближение сумм Дарбу суммами Римана, монотонность сумм Дарбу, неравенства для верхних и нижних сумм Дарбу различных разбиений. Ограниченность сумм Дарбу.

[1], Ч.1, С.334-337

36.

Верхний и нижний интегралы Дарбу. Определение. Лемма о неравенстве для верхнего и нижнего интегралов Дарбу. Лемма об оценке разности сумм Дарбу разбиения и его измельчения. Понятие предела суммы Дарбу. Основная лемма Дарбу.

[1], Ч.1, С.337-339

37.

Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Риману ограниченной функции в терминах верхнего и нижнего интегралов Дарбу (вспомогательная теорема). Основная теорема о необходимом и достаточном условии интегрируемости по Риману ограниченной на отрезке функции.

[1], Ч.1, С.339-341

38.

Интегрируемость непрерывных и монотонных на отрезке функций. Достаточное условие интегрируемости разрывной ограниченной функции. Следствия. Пример интегрируемой функции, имеющей бесконечно много точек разрыва.

[1], Ч.1, С.341-344

39.

Интегрируемость сложной функции. Следствие. Простейшие свойства определенного интеграла Римана (линейность, интегрируемость произведения, интегрируемость на подмножествах, аддитивность определенного интеграла).

[1], Ч.1, С.344-350

40.

Свойства интеграла Римана, связанные с неравенствами. Формулы среднего значения для определенного интеграла Римана.

[1], Ч.1, С.350-353

41.

Интеграл с переменным верхним пределом. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной у непрерывной функции. Дифференцирование интеграла с переменным пределом. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом.

[1], Ч.1, С.357-359

42.

Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла (интегрирование подстановкой и по частям). Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

[1], Ч.1, С.359-363

43.

Приложения определенного интеграла к вычислению площади криволинейной трапеции и площади криволинейного сектора. Экономические и физические приложения.

[1], Ч.1, С.405-416

44.

Приложения определенного интеграла к вычислению объема тела вращения и к вычислению длины дуги.

[1], Ч.1, С.391-403, 418-421

45.

Несобственные интегралы первого и второго рода. Определение, примеры. Главное значение несобственного интеграла. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная и условная сходимость. Общий признак сравнения для несобственных интегралов в форме неравенств и в предельной форме. Частные признаки сравнения для несобственных интегралов первого и второго рода в форме неравенств и в предельной форме.

[1], Ч.1, С.371-376

46.

Признак Дирихле-Абеля сходимости несобственного интеграла. Замена переменной и интегрирование по частям в несобственных интегралах.

[1], Ч.1, С.376-384

47.

Числовой ряд. Сходимость. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости. Необходимое и достаточное условие сходимости в терминах остатка. Простейшие свойства и признаки сходимости числовых рядов. Абсолютная сходимость числового ряда

[3], Т.2, С.11-15, 29-30

48.

Числовые ряды с неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости. Признак Коши. Признаки Раабе и Гаусса (без доказательства). Признаки сравнения сходимости числовых рядов с неотрицательными членами в форме неравенств и в предельной форме. Интегральный признак сходимости числового ряда с неотрицательными членами. Расходимость гармонического ряда.

[3], Т.2, С.15-28

49.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Преобразование Абеля. Признаки Дирихле и Абеля сходимости знакопеременных рядов. Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. Сочетательное свойство сходящегося ряда. Теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда. Теорема о перемножении абсолютно сходящихся рядов.

[3], Т.2, С.32-42, [1], Ч. 2, С 36-39

50.

Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда. Признак Абеля. Почленный переход к пределу в функциональной последовательности и функциональном ряде. Непрерывность суммы равномерно сходящегося функционального ряда, состоящего из непрерывных функций. Теорема Дини. Почленное интегрирование функциональных последовательностей и рядов. Почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

[1], Ч. 2, С 67 -93

51.

Определение степенного ряда. Теорема Коши-Адамара. Теорема о радиусе сходимости степенных рядов, полученных почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда. Следствие. Вещественно аналитические функции. Единственность разложения в степенной ряд. Ряд Тейлора. Пример бесконечно дифференцируемой неаналитической функции. Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд.

[1], Ч. 2, С 102-108

52.

Разложение в ряд Тейлора показательной, логарифмической, гиперболических, тригонометрических функций. Биномиальный ряд. Разложение функций в степенные ряды методом почленного дифференцирования и интегрирования.

[1], Ч. 2, С 108-110, [2], Т. 1, С.636-649

ЭКЗАМЕН

53.

Определение ряда Фурье для абсолютно интегрируемой функции. Предложение о стремлении к нулю при

интегралов вида

от абсолютно интегрируемой функции f(x). Лемма об аппроксимации. Лемма Римана.

[2,т.2 ] С.267-274

54.

Ядро Дирихле и его свойства. Интеграл Дирихле. Принцип локализации. Сходимость рядов Фурье для кусочно-дифференцируемых функций.

[2,т.2 ] С.274-284, [3,т.2 ] С.383-384

55.

Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических. Свойства ядер Фейера. Теорема о сходимости сумм Фейера.

[2,т.2 ]С.2847-287

56.

Теорема Вейерштрасса-Стоуна о приближении непрерывной на отрезке функции алгебраическими многочленами. Полнота систем функций в смысле равномерного приближения. Теорема о полноте тригонометрической системы и системы целых неотрицательных степеней x.

[2,т.2 ] С.290-292

57.

Полнота в смысле среднего квадратичного приближения. Полнота тригонометрической системы функций и системы целых неотрицательных степеней x для множества непрерывных функций.

[2,т.2 ] С.267-274 [3,т.2 ] С.413-416

58.

Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля и следствия из него (случай непрерывной функции).

[2,т.2 ] С.292-296 [3,т.2 ] С.409-412

59.

Почленное дифференцирование рядов Фурье. Предложение о порядке убывания коэффициентов Фурье при

. Достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье.

[2,т.2 ] С.296-301 [3,т.2 ] С.418-419

60.

Определение N-мерного евклидова пространства Е. Основные понятия и определения. Свойства расстояния в Е.

[2,т.1 ] С.267-274

61.

Последовательности точек в Е. Сходящиеся последовательности и их свойства. Критерий Коши сходимости последовательности точек в Е. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Предельные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Операция замыкания. Компакты в Е.

[2,т.1 ] С.274-291

62.

Функции нескольких действительных переменных. Определение предела функции в точке. Арифметические свойства пределов функций. Критерий Коши существования конечного предела функции n переменных. Повторные пределы.

[2,т.1 ] С.291-298

63.

Непрерывность функции n переменных. Арифметические операции над непрерывными функциями. Свойства непрерывных функций (теорема об устойчивости знака, теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение, теорема Вейерштрасса.) Равномерная непрерывность функций. Теорема Кантора.

[2,т.1 ] С.229-308

64.

Частные производные функции нескольких переменных Дифференцируемость в точке. Связь дифференцируемости с существованием частных производных. Геометрический смысл условия дифференцируемости в случае функций двух переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Понятие дифференциала. Дифференцируемость сложной функции и инвариантность формы первого дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

[2,т.1 ] С.310-321

65.

Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

[2,т.1 ] С.322-339

66.

Формула Тейлора для функций нескольких переменных с дополнительным членом в форме Лагранжа и Пеано. Формула конечных приращений и следствия из нее.

[2,т.2 ] С.4-12

67.

Экстремум функции n переменных. Необходимое условие экстремума в терминах первого дифференциала. Достаточные условия строгого экстремума. Условие, достаточное для отсутствия экстремума в точке.

[2,т.2 ] С.18-25

68.

Неявные функции. Теорема о неявных функциях, определяемых одним уравнением (без доказательства). Вычисление производных неявных функций, определяемых системой уравнений. Якобиан системы функций. Вычисление производных неявных функций, определяемых из системы уравнений.

[2,т.2 ] С.26-31

69.

Отображения из Е в Е. Предел отображения, непрерывность отображения. Отображения, дифференцируемые в точке. Дифференциал отображения. Матрица производной отображения. Непрерывно дифференцируемые отображения.

[2,т.2 ] С.41-48

70.

Непрерывная дифференцируемость композиции отображений. Теорема об открытости образа открытого множества в случае непрерывно дифференцируемого отображения с неравным нулю якобианом. Теорема об обратном отображении.

[2,т.2 ] С.41-48

71.

Формулы замены переменных. Полярная замена.

[2,т.2 ] С.64-68

72.

Условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

[2,т.2 ] С.74-85

73.

Понятие интеграла, зависящего от параметра. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование по параметру.

[3,т.2 ] С. 138-148

74.

Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.

[3,т.2 ] С. 148-154

75.

Теорема о предельном переходе под знаком интеграла. Непрерывность интеграла по параметру.

[3,т.2 ] С.154-157

76.

Теорема об интегрируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра. Теорема о дифференцируемости несобственного интеграла по параметру. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

[3,т.2 ] С. 157-167

77.

Вычисление интегралов Дирихле и Пуассона.

[3,т.2 ] С. 161-167

78.

Гамма-функция Эйлера и ее основные свойства.

[3,т.2 ] С. 167-169

79.

Бета-функция Эйлера и ее основные свойства.

[3,т.2 ] С. 170-175

ЭКЗАМЕН

80.

Простейшие сведения о кривых. Определение простой непрерывной кривой. Направление на кривой. Длина дуги кривой. Длина дуги в роли параметра, натуральное представление кривой. Особые точки на кривой, гладкие кривые. Положительное направление касательной на кривой.

[2,т.2 ] С. 131-142

81.

Криволинейные интегралы 1-го рода. Определение и формула для вычисления. Свойства интегралов 1-го рода.

[2,т.2 ] С.132-136

82.

Криволинейные интегралы 2-го рода. Определения и свойства. Лемма о хордах. Вычисление интегралов 2-го рода. Частные случаи, обобщения. Связь криволинейных интегралов 1-го и 2-го родов

[2,т.2 ] С.136-143

83.

Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.

[2,т.2 ] С151-160

84.

Квадрируемые множества на плоскости. Множества площади нуль. Критерий квадрируемости.

[2,т.2 ] С.85-92

85.

Квадрируемость фигуры, граница которой состоит из одной или нескольких спрямляемых кривых. Некоторые свойства меры Жордана.

[2,т.2 ] С.92-96

86.

Определение и условия существования двойного интеграла по прямоугольной области. Интегрируемость непрерывной функции. Ослабление условий интегрируемости. Определение и условия существования двойного интеграла в случае произвольной квадрируемой области. Лемма о пределах интегральных сумм специального вида.

[3,т.2 ] С. 237-242

87.

Определение двойного интеграла при помощи произвольных разбиений области. Эквивалентность определений интегрируемости. Основные свойства двойного интеграла.

[3,т.2 ] С. 237-246

88.

Сведение двойного интеграла к повторному. Случай прямоугольной области и произвольной квадрируемой области. Примеры вычисления двойного интеграла.

[2,т.2 ] С.105-111

89.

Формула Грина. Вычисление площадей плоских фигур с использованием криволинейных интегралов.

[2,т.2 ] С.143-147

90.

Критерий полного дифференциала в односвязной области. Восстановление функции по ее дифференциалу.

[2,т.2 ] С.143-147

91.

Тройные и n-кратные интегралы. Определение и основные свойства. Сведение кратных интегралов к повторным.

[2,т.2 ] С.94-105, С. 111-112

92.

Свойства биективных непрерывно дифференцируемых отображений с необращающимся в нуль якобианом. Преобразование гладких кривых и контуров. Криволинейные координаты. Формула для площади образа области. Геометрический смысл знака якобиана. Геометрический смысл модуля якобиана. Замена переменных в двойном интеграле. Замена переменных в n-кратном интеграле.

[2,т.2 ] С.112-132

Вычисление объемов. Полярные, сферические, цилиндрические координаты. Примеры замены переменных. Вычисление интеграла Пуассона.

[3,т.2 ] С. 334-339

Элементы теории поверхностей. Носитель поверхности, точка поверхности. Координатные линии на поверхности. Понятие кратной точки поверхности. Касательная к координатным линиям. Особые точки поверхности. Гладкие поверхности. Касательная плоскость к поверхности, нормальный вектор, нормальная прямая. Поверхности, задаваемые неявно. Уравнение касательной плоскости и нормального вектора. Понятие о поверхности уровня функции. Ортогональность градиента к поверхности уровня.

[2,т.2 ] С.267-274

Понятие площади поверхности. Формула для вычисления площади поверхности.

[2,т.2 ] С.194-197

Ориентация поверхности, односторонние и двусторонние поверхности. Кусочно-гладкие поверхности и их ориентация.

[2,т.2 ] С.197-205

Определение и существование поверхностных интегралов 1-го и 2-го родов. Свойства поверхностных интегралов, примеры их вычисления. Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм. Интегралы по кусочно-гладким поверхностям.

[2,т.2 ] С.205-214

Формула Гаусса-Остроградского: формулировка основной теоремы, доказательство формулы для специального класса областей. Выражение объема области через поверхностный интеграл. Многомерная формула интегрирования по частям.

[2,т.2 ] С.219-227

Понятие векторного поля. Дифференцируемые векторные поля. Дивергенция и ротор векторного поля. Интерпретация формулы Гаусса-Остроградского в терминах теории поля.

[2,т.2 ] С.214-218, С. 227-231

Формула Стокса.

[2,т.2 ] С.227-236

Определение последовательности областей, монотонно исчерпывающей данную область. Определение несобственного интеграла. Теорема о необходимом и достаточном условии сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции. Пример вычисления несобственного интеграла.

[2,т.2 ] С. 161-168

Общий признак сравнения для несобственных интегралов. Стандартные функции сравнения

. Кратные несобственные интегралы в смысле главного значения.

[2,т.2 ] С. 161-171

Определение функции с ограниченным изменением. Случай конечного промежутка и случай бесконечного промежутка. Классы функций с ограниченным изменением. Свойства функций с ограниченным изменением. Свойства функций с ограниченным изменением. Критерий для функций с ограниченным изменением (теорема 1, теорема 2).

[5,т.3 ] С. 74--88

Интеграл Стилтьеса. Определение интеграла Стилтьеса. Общие условия существования интеграла Стилтьеса. Существование интеграла

в случае, когда f(x) непрерывна, а g(x) имеет ограниченное изменение. Существование интеграла Стилтьеса в случае, когда f(x) интегрируема по Риману а g(x) липшицева. Вычисление интеграла Стилтьеса в случае, когда g(x) является пе

Поделиться:

Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-04-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Поиск по сайту:

Читайте также:

Деталирование сборочного чертежа

Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей?

Собственные движения и пространственные скорости звезд

Тема 11. Банковские риски и способы их оценки

Опросник «Активность повседневной жизни»

Интересно:

Как защитить исследовательскую работу (проект)

Глава 3.Что такое успех?

Что такое нейролингвистика?

Зачем нужна стратификация

Обратная связь