ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛОВ
1. Понятие неопределенности. В практике отыскания пределов наиболее часто применяется теорема 2 об арифметических действиях над пределами (см. § 1). Однако ее непосредственное применение бывает невозможно в особых ситуациях, называемых неопределенностями, которые возникают при нарушении ее условий. Например, если , то нельзя сказать ничего определенного о пределе
, не зная конкретного вида функции
и
. В этом случае говорят о наличии неопределенного вида
. Неопределенность возникает и при отыскании предела
, если
,
(
и
могут быть бесконечно большими определенного знака или нет). Ее обозначают символом
. Еще один пример: ищется
, причем
и
– бесконечно большие противоположных знаков – здесь неопределенность
. При вычислении предела
создается неопределенность
, если
,
. Кроме этих неопределенностей, связанных с арифметическими действиями над пределами, существуют неопределенности
, относящиеся к пределу вида
.
Чтобы найти пределы при наличии неопределенности, надо эту неопределенность устранить, открыв тем самым возможность использования тех или иных теорем о пределах. Это достигается, с одной стороны, применением алгебраических и тригонометрических преобразований (разложение функций на множители или на слагаемые, приведение дробей к общему знаменателю, добавление и вычитание некоторого выражения, умножение и деление на некоторую функцию, вынесение множителя за скобку и т.п.), заменой переменной, использованием эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших (см. § 3), а с другой стороны, использованием так называемых замечательных пределов.
I. .
II. (
— иррациональное число. Оно является основанием системы логарифмов, называемых натуральными. Вместо
принято писать
).
|
Из предела II выводятся следующие пределы, широко применяемые при раскрытии неопределенностей:
III. .
IV. (в частности,
).
V. .
Замечание. Применение замечательных пределов требует понимания и запоминания структуры каждого из них и при этом необходимости ее воспроизведения. Так, для предела характерно отношение синуса бесконечно малого угла к самому углу. Поэтому всякий предел вида
равен 1, если
. Например, каждый из пределов
,
,
есть, в сущности, первый замечательный предел и потому равен 1, чего нельзя сказать ни об одном из пределов
,
,
.
Для предела характерно, что сумма, равная единице плюс бесконечно малая, возводится в степень, обратную этой бесконечно малой. Следовательно, если
, то и
. Такова структура каждого из пределов
,
,
, и потому все они равны
, но структура пределов
,
,
отлична от срукткры замечательного предела.
Подобные рассуждения справедливы и для пределов III–V.
Заметим, что если заданный предел не обладает структурой ни одного из пределов I–V, это не исключает возможности использования их для его отыскания.
2. Неопределенность 0/0. В простейших случаях такая неопределенность устраняется путем выделения в числителе и знаменателе общего множителя, создающего неопределенность, и сокращения на него, после чего можно применять теорему о пределе частного. Этот прием основан на теореме: если в окрестности точки
для всех
и существует один из пределов
или
, то существует и другой, и они равны. Например, функции
и
равны при
. Поскольку
|
Способ выделения общего множителя, да и сам его вид зависят от структуры числителя и знаменателя. Иногда вид выделяемого множителя зависит от способа его выделения (см. ниже пример 5). Для раскрытия неопределенности 0/0 применяются и другие элементарные приемы, а также пределы I, III–V, используются эквивалентные бесконечно малые.
Пример 1. Вычислить .
Решение. Многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, обращаются в нуль при . По теореме Безу каждый из них должен делиться на
, т.е. каждый из них может быть представлен в виде произведения
на некоторый многочлен.
Таким образом, нахождение предела сводится прежде всего к выделению в числителе и знаменателе множителя , незримое присутствие которого и создает неопределенность 0/0. Практически это достигается каким-либо способом разложения числителя и знаменателя на множители, например делением «уголком»*.
[ДЕЛЕНИЕ СТОЛБИКОМ]
Теперь искомый предел можно представить в виде
.
Неопределенность исчезла. По теореме о пределе частного находим ответ: .
Замечание. Веденный пример решения всегда приводит к цели, когда ищется , где
и
— многочлены степеней m и n относительно x. Можно применить и непосредственное разложение многочленов на множители путем группировки слагаемых с выделением множителя
, если такая группировка очевидна. В приведенном примере такое разложение легко получить для числителя:
1. Раскрыть неопределенность 0/0:
1) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
3. Неопределенность ∞/∞. Эта неопределенность раскрывается теми же методами, что и неопределенность 0/0, а иногда просто сводится к последней элементарными преобразованиями.
Пример 3. Вычислить .
Решение. При достаточно больших значениях величина числителя определяется членом
, а роль остальных слагаемых тем незначительней, чем больше
. В знаменателе при росте
доминирующее значение приобретает слагаемое
. Поэтому именно присутствие членов, содержащих
, является причиной возникновения неопределенности ∞/∞. Если в числителе и знаменателе вынести множитель
за скобки и сократить на него, то неопределенность исчезнет:
(Слагаемые есть бесконечно малые при
).
Замечание. Проведенные преобразования фактически сводятся к делению числителя и знаменателя на старшую степень x. Часто этого бывает достаточно для раскрытия неопределенности ∞/∞. (В сущности, к этому же премк можно отнести замену переменной . Тогда
и
Пример 4. Вычислить .
Решение. Воспользуемся замечанием к примеру 15. Заметив, что старшая степень в данном случае равна 3, разделим почленно ислитель и знаменатель на
:
(Смена знака перед двумя радикалами в переходе (1) объясняется тем, что при
и аналогично
Пример 5. Вычислить .
Решение. В числителе стоит сумма членов арифметической прогрессии. Следовательно, и
Пример 6. Вычислить .
Решение. Множителем, создающим неопределенность, в данном примере является , что видно из равенств
Заменив числитель и знаменатель правыми частями этих равенств и поделив их затем на , добьемся исчезновения неопределенности:
2. Раскрыть неопределенность ∞/∞:
49) | 1) ![]() | 2) ![]() | 3) ![]() |
Вывести простое правило вычисления предела , где
и
– многочлены степеней n и m.
50) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 51) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
4. Неопределенность . Неопределенности такого вида элементарными преобразованиями, использованием замечательных пределов или заменой переменной сводятся к одной из неопределенностей вида 0/0 или ∞/∞.
Пример 7. Вычислить .
Решение.
Пример 8. Вычислить .
Решение. Заметив, что при
, выделим замечательны предел I:
После выделения замечательного предела I делением и умножением на (переходы (1) – (3)) неопределенность
свелась к неопределенности
, ликвидация которой произведена делением числителя и знаменателя на старшую степень переменной (переход (4)).
Вычислить следующие пределы:
72) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 73) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
5. Неопределенность . Раскрытие этой неопределенности, нередко сопряженное с большими трудностями, достигается использованием замечательных пределов или сведением к одной из неопределенностей 0/0, ∞/∞,
с помощью элементарных преобразований.
Пример 9. Вычислить .
Решение. Приведение дробей к общему знаменателю сменяет неопределенность на неопределенность 0/0, которая раскрывается сокращением дроби на множитель
. Действительно, учитывая, что
, находим последовательно
∞/∞, с помощью элементарных преобразований.
Пример 10. Вычислить .
Решение. Умножение и деление на одно и то же выражение, сопряженное данному двучлену, сводит неопределенность к неопределенности
:
89) ![]() ![]() | 90) ![]() ![]() |
5. Неопределенность . Раскрытие этой неопределенности, нередко сопряженное с большими трудностями, достигается использованием замечательных пределов или сведением к одной из неопределенностей 0/0, ∞/∞,
с помощью элементарных преобразований.
Пример 11. Вычислить .
Решение. Приведение дробей к общему знаменателю сменяет неопределенность на неопределенность 0/0, которая раскрывается сокращением дроби на множитель
. Действительно, учитывая, что
, находим последовательно
∞/∞, с помощью элементарных преобразований.
Пример 12. Вычислить .
Решение. Умножение и деление на одно и то же выражение, сопряженное данному двучлену, сводит неопределенность к неопределенности
:
Вычислить следующие пределы:
93) ![]() | 94) ![]() |
95) ![]() | 96) ![]() |
97) ![]() | 98) ![]() |
99) ![]() | |
100) ![]() | |
101) ![]() | |
102) ![]() | |
103) ![]() | |
104) ![]() | 105) ![]() |
106) ![]() | |
107) ![]() | 108) ![]() |
109) ![]() | 110) ![]() |
111) ![]() | 112) ![]() |
113) ![]() | 114) ![]() |
115) ![]() | 116) ![]() |
117) ![]() | 118) ![]() |
119) ![]() | 120) ![]() |
6. Неопределенность . Условия, при которых возникают эти неопределенности, связанные с пределом
, где
и
— функции от x, можно пояснить таблицей:
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | |
![]() | ||
![]() | ![]() |
Из тождества и непрерывности показательной функции (см. главу III) следует, что
. Таким образом, раскрытие неопределенностей
сводится к отысканию предела функции
, который связан с неопределенностью
, как это видно из таблицы. Если S найдено, то
. Заметим, что
. Следовательно, для раскрытия любой из неопределенностей рассматриваемых типов достаточно найти предел натурального логарифма функции, стоящей под знаком предела, и по его значению S восстановить искомый предел
. Неопределенность
может быть раскрыта помимо изложенного способа, общего для этих неопределенностей, способом непосредственной «подгонки» к замечательному пределу II
, например, по такой схеме:
Выражение, построенное внутри квадратных скобок, имеет вид , где
— бесконечно малая при
. Нахождение предела
требует раскрытия неопределенности
.
Пример 13. Вычислить .
Решение. Поскольку при
, то имеем неопределенность вида
. Выделим замечательный предел II:
Пример 14. Вычислить .
Решение. при
стремится к единице, а
, следовательно, здесь неопределенность вида
. Выделим замечательный предел II:
Пример 15. Вычислить .
Решение. при
стремится к единице, а
, следовательно, здесь неопределенность вида
. Выделим замечательный предел II:
Пример 16. Вычислить .
Решение. при
стремится к единице, а
, следовательно, здесь неопределенность вида
. Выделим замечательный предел II:
Следовательно,
Вычислить:
121) ![]() | 122) ![]() |
123) ![]() | 124) ![]() |
125) ![]() | 126) ![]() |
127) ![]() | 128) ![]() |
129) ![]() | 130) ![]() |
131) ![]() | 132) ![]() |
133) ![]() ![]() | 134) ![]() ![]() |
135) ![]() | 136) ![]() |
137) ![]() | 138) ![]() |
139) ![]() | 140) ![]() |
141) ![]() | 142) ![]() |
143) ![]() | 144) ![]() |
145) ![]() |