Пусть 
и 
– бесконечно малые при 
.
Если 
, то и называются бесконечно малыми одного порядка;
если 
, то и называются бесконечно малой высшего порядка по сравнению с бесконечно малой 
, что обозначается 
(читается: «
равна o малому от »);
если 
не существует, то бесконечно малые и называются несравнимыми.
В частном случае, когда 
, бесконечно малые и называются эквивалентными, 
. Если , то бесконечно малую можно представить в виде 
. Для эквивалентных бесконечно малых выполняется свойство транзитивности, т.е. если , а 
, то 
.
Для более точного сравнения бесконечно малых функций и при а в том случае, когда , т.е. – бесконечно малая более высокого порядка, чем , одна из них, например , сравнивается с различными функциями вида 
. Если для некоторого значения k оказывается, что 
, то функция называется бесконечно малой k-го порядка относительно , а функция 
, эквивалентная функции , называется главной частью функции , 
.
Часто для количественной оценки малости функции функций при в качестве эталонов берутся функции 
при 
, причем k принимает любые вещественные значения. Такой набор эталонов простейшего вида образует как бы шкалу, удобную для сравнения бесконечно малых при (
). Если 
, то такую шкалу образуют эталоны сравнения вида 
. В общем случае в качестве эталонов сравнения выбирается некоторое множество функций 
, определенных на некотором интервале, примыкающем к точке a, и таких, что 
, если 
.
Для эквивалентных бесконечно малых справедлива теорема: если и — бесконечно малые при и 
, 
, а 
, то
и 
; (1)
и 
; (2)
. (3)
Наличие набора эквивалентных бесконечно малых часто значительно упрощает вычисление пределов при раскрытии неопределенностей. Так, при 
, (
, (
, (
, (
, (
, 
, (
, (
, (
. (
Аналогичные понятия вводятся для бесконечно больших функций и при : если , то они называются бесконечно большими одного порядка; если 
, то функция называется бесконечно большой высшего порядка по сравнению с функцией ; если не существует, то функции и называют несравнимыми бесконечно большими.
Эквивалентные бесконечно большие определяются точно так же, как эквивалентные, как эквивалентные бесконечно малые, т.е. , если .
Если , то бесконечно большая называется бесконечно большой k-го порядка относительно бесконечно большой , а функция , эквивалентная функции , называется главной частью функции .
Простейшие примеры эквивалентных бесконечно больших получаются из рассмотрения многочлена 
:
при 
, 
, 
. (4)
Для эквивалентных бесконечно больших справедливы соотношения (1)–(3).
Применение эталонов сравнения – источник приближенных формул. Если, например, функция при имеет главную часть 
, где 
– постоянная, то 
. Выделяя из функции 
главную часть 
, получаем более точную формулу: 
. Этот процесс можно продолжить. Если в результате приходят к формуле вида
то говорят, что функция обладает разложением порядка n относительно эталонов 
. Пренебрегая слагаемым 
, получаем приближенное выражение для функции при x, достаточно близких к a.
Пример 1. Сравнить функции: 1) 
и x при ; 2) 
и 
при 
; 3) 
и 
при .
Решение. 
Данные функции при 
бесконечно малые. Составим их отношение и высчитаем его предел при :
Следовательно, данные функции одного порядка малости.
2) При функции бесконечно малые и
следовательно, функция есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с . А так как 
, то есть бесконечно малая второго порядка относительно .
3) При и бесконечно большие одного порядка.
Пример 2. Сравнить функции 
и 
при .
Решение. Поскольку 
, то, учитывая, что 
(см. соотношение 
), имеем 
.
Так как 
(см. соотношение 
), а 
при , имеем 
.
Тогда, используя соотношение (2), получаем, что
Следовательно, данные функции одного порядка малости, более того – эквивалентны.
Пример 3. Сравнить функции 
и 
при 
.
Решение. Из равенства 
следует, что 
при (
при ). С другой стороны, 
при ; следовательно, 
, т.е. есть бесконечно большая порядка 3/2 относительно бесконечно большой .
Пример 4. Выделить главную часть функции 
при: 1) ; 2) при 
.
Решение. При малых x поведение функции будет определять то слагаемое, которое стоит в низшей степени. Поэтому вынесем за скобки малых x в первой степени: 
. Выражение в скобках 
при , следовательно, согласно соотношению (3) 
, и имеет место равенство 
при , где 
– главная часть функции , а 
– бесконечно малая более высокого порядка, чем 
.
2) Заметим, что 
; следовательно, функция есть бесконечно малая в точке 
. В результате деления получим 
. Поскольку 
при , то 
и 
является главной частью функции при , и имеет место равенство 
при 
– бесконечно малая более высокого порядка, чем 
при .
Пример 5. Выделить главную часть функции 
при .
Решение. Используем эквивалентное соотношение 
, роль бесконечно малой 
здесь играет 
при :
так как 
при . Итак, 
при .
Пример 6. Выделить главную часть функции 
при 
.
Решение. Выражение, стоящее под знаком корня, стремится к единице, поэтому его можно представить в виде суммы двух слагаемых – единица плюс бесконечно малая: 
, тогда 
при , так как 
при . Итак, 
.
как при . Итак, при .
Пример 7. Выделить главную часть функции 
при .
Решение. Выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится к единице при , поэтому его можно представить в виде суммы единицы и бесконечно малой, причем роль бесконечно малой играет 
. Тогда (см. соотношение )
при .
Следовательно, 
при .
Пример 8. Выделить главную часть функции 
при .
Решение. Так как выражение стоящее под знаком логарифма, стремится к единице при , то его можно представить следующим образом: 
, где 
– бесконечно малая при 
По формуле и соотношению (3) получим 
при , отсюда 
, где 
– бесконечно малая более высокого порядка, по сравнению с 
при , т.е. 
.
Пример 9. Выделить главную часть функции 
при .
Решение. Так как дробь 
при , то представим ее в следующем виде:
