Пусть и
– бесконечно малые при
.
Если , то
и
называются бесконечно малыми одного порядка;
если , то
и называются бесконечно малой высшего порядка по сравнению с бесконечно малой
, что обозначается
(читается: «
равна o малому от
»);
если не существует, то бесконечно малые
и
называются несравнимыми.
В частном случае, когда , бесконечно малые
и
называются эквивалентными,
. Если
, то бесконечно малую
можно представить в виде
. Для эквивалентных бесконечно малых выполняется свойство транзитивности, т.е. если
, а
, то
.
Для более точного сравнения бесконечно малых функций и
при
а в том случае, когда
, т.е.
– бесконечно малая более высокого порядка, чем
, одна из них, например
, сравнивается с различными функциями вида
. Если для некоторого значения k оказывается, что
, то функция
называется бесконечно малой k-го порядка относительно
, а функция
, эквивалентная функции
, называется главной частью функции
,
.
Часто для количественной оценки малости функции функций при
в качестве эталонов берутся функции
при
, причем k принимает любые вещественные значения. Такой набор эталонов простейшего вида образует как бы шкалу, удобную для сравнения бесконечно малых при (
). Если
, то такую шкалу образуют эталоны сравнения вида
. В общем случае в качестве эталонов сравнения выбирается некоторое множество функций
, определенных на некотором интервале, примыкающем к точке a, и таких, что
, если
.
Для эквивалентных бесконечно малых справедлива теорема: если и
— бесконечно малые при
и
,
, а
, то
и
; (1)
и
; (2)
. (3)
Наличие набора эквивалентных бесконечно малых часто значительно упрощает вычисление пределов при раскрытии неопределенностей. Так, при
|
, (
, (
, (
, (
, (
,
, (
, (
, (
. (
Аналогичные понятия вводятся для бесконечно больших функций и
при
: если
, то они называются бесконечно большими одного порядка; если
, то функция
называется бесконечно большой высшего порядка по сравнению с функцией
; если
не существует, то функции
и
называют несравнимыми бесконечно большими.
Эквивалентные бесконечно большие определяются точно так же, как эквивалентные, как эквивалентные бесконечно малые, т.е. , если
.
Если , то бесконечно большая
называется бесконечно большой k-го порядка относительно бесконечно большой
, а функция
, эквивалентная функции
, называется главной частью функции
.
Простейшие примеры эквивалентных бесконечно больших получаются из рассмотрения многочлена :
при
,
,
. (4)
Для эквивалентных бесконечно больших справедливы соотношения (1)–(3).
Применение эталонов сравнения – источник приближенных формул. Если, например, функция при
имеет главную часть
, где
– постоянная, то
. Выделяя из функции
главную часть
, получаем более точную формулу:
. Этот процесс можно продолжить. Если в результате приходят к формуле вида
то говорят, что функция обладает разложением порядка n относительно эталонов
. Пренебрегая слагаемым
, получаем приближенное выражение для функции
при x, достаточно близких к a.
Пример 1. Сравнить функции: 1) и x при
; 2)
и
при
; 3)
и
при
.
Решение. Данные функции при
бесконечно малые. Составим их отношение и высчитаем его предел при
:
Следовательно, данные функции одного порядка малости.
2) При функции бесконечно малые и
следовательно, функция есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с
. А так как
, то
есть бесконечно малая второго порядка относительно
.
|
3) При
и
бесконечно большие одного порядка.
Пример 2. Сравнить функции и
при
.
Решение. Поскольку , то, учитывая, что
(см. соотношение
), имеем
.
Так как (см. соотношение
), а
при
, имеем
.
Тогда, используя соотношение (2), получаем, что
Следовательно, данные функции одного порядка малости, более того – эквивалентны.
Пример 3. Сравнить функции и
при
.
Решение. Из равенства следует, что
при
(
при
). С другой стороны,
при
; следовательно,
, т.е.
есть бесконечно большая порядка 3/2 относительно бесконечно большой
.
Пример 4. Выделить главную часть функции при: 1)
; 2) при
.
Решение. При малых x поведение функции будет определять то слагаемое, которое стоит в низшей степени. Поэтому вынесем за скобки малых x в первой степени:
. Выражение в скобках
при
, следовательно, согласно соотношению (3)
, и имеет место равенство
при
, где
– главная часть функции
, а
– бесконечно малая более высокого порядка, чем
.
2) Заметим, что ; следовательно, функция
есть бесконечно малая в точке
. В результате деления получим
. Поскольку
при
, то
и
является главной частью функции
при
, и имеет место равенство
при
– бесконечно малая более высокого порядка, чем
при
.
Пример 5. Выделить главную часть функции при
.
Решение. Используем эквивалентное соотношение , роль бесконечно малой
здесь играет
при
:
так как при
. Итак,
при
.
Пример 6. Выделить главную часть функции при
.
Решение. Выражение, стоящее под знаком корня, стремится к единице, поэтому его можно представить в виде суммы двух слагаемых – единица плюс бесконечно малая: , тогда
при
, так как
при
. Итак,
.
|
как при
. Итак,
при
.
Пример 7. Выделить главную часть функции при
.
Решение. Выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится к единице при , поэтому его можно представить в виде суммы единицы и бесконечно малой, причем роль бесконечно малой играет
. Тогда (см. соотношение
)
при
.
Следовательно, при
.
Пример 8. Выделить главную часть функции при
.
Решение. Так как выражение стоящее под знаком логарифма, стремится к единице при , то его можно представить следующим образом:
, где
– бесконечно малая при
По формуле
и соотношению (3) получим
при
, отсюда
, где
– бесконечно малая более высокого порядка, по сравнению с
при
, т.е.
.
Пример 9. Выделить главную часть функции при
.
Решение. Так как дробь при
, то представим ее в следующем виде: