Г.
Раздел 3. Прямые и плоскости в пространстве
Тема 3.3. Геометрические преобразования
Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос,
Симметрия относительно плоскости
Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х; у; z) фигуры переходит в точку (х + а; y + b; z + c), где числа а, b, с одни и те же для всех точек (х; у; z). Параллельный перенос в пространстве задается формулами:
х ' = х + а, у ' = у + b, z ' = z + c,
Параллельный перенос в пространстве обладает следующими свойствами:
1. Параллельный перенос есть движение.
2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние.
3. При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя.
4. Каковы бы ни были точки A и A`, существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A`.
5. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.
Симметрия относительно плоскости – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону плоскости, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону плоскости, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны плоскости симметрии и делятся ею пополам.
Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции .
Изображение пространственных фигур
Точка А` является параллельной проекцией точки А на плоскость π в направлении прямой ℓ. Если точка А принадлежит прямой ℓ, то параллельной проекцией А на плоскость π считается точка пересечения прямой ℓ с плоскостью π. Такое соответствие называется параллельным проектированием (рис. 1).
Свойство №1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой ℓ, то её проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой ℓ, то её проекцией является прямая (рис. 2).
Свойство №2. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок в зависимости от того, лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой ℓ, или нет. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, сохраняется. В частности, середина отрезка при параллельном проектировании переходит в середину соответствующего отрезка (рис. 3).
|
Свойство №3. Если две параллельные прямые не параллельны прямой ℓ, то их проекции в направлении ℓ могут быть или параллельными прямыми, или одной прямой (рис. 4).
|
Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекции П.
Теорема: Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
Задача 1. Даны точки (1; 2; 3), (0; — 1; 2), (1; 0; —3). Постройте данные точки в пространственной системе координат.
Задача 2. Найдите значения а, b, с в формулах параллельного переноса: х ' = х + а, у ' = у + b, z ' = z + c, если при этом параллельном переносе точка A (1; 0; 2) переходит в точку А' (2; 1; 0).
https://www.youtube.com/watch?v=GOhY5Z6KgTc