Каратаев Евгений Анатольевич
Настоящая статья строит модель скорости в рамках модели полуточки и приводит две простых иллюстрации, демонстрирующие и иллюстрирующие модель скорости в общеизвестных случаях поступательной и вращательной скорости. В статье приводится в основном модель скорости, и разбор отдельных случаев скорости и её видов представляется либо темой отдельной статьи, либо большой работы о кинематике, выраженной на языке гиперкомплексных чисел.
Для понимания предлагаемой модели скорости частично повторим основные положения модели полуточки и модели миров.
Точка пространства испытывает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой:
![]() | (1) |
Считается, что точка принадлежит миру с временем
:
![]() | (2) |
В этой статье понятия системы координат и системы отсчёта полагаются совпадающими. Полагается, что положение точки и её состояние измеряются в некоторой идеальной системе, выбираемой наблюдателем по его усмотрению.
Состояния точки в два различных момента времени могут быть определены относительно одной и той же системы координат. Будем полагать, что из первого состояния во второе можно попасть, совершив преобразование системы координат:
![]() | (3) |
Здесь величина определяет преобразование, которое следует совершить для такого перехода. При этом
есть разность времён этих двух миров:
![]() | (4) |
Также будем полагать, что эти два состояния разделены друг от друга бесконечно малым расстоянием во времени:
![]() | (5) |
Под скоростью будем понимать величину, определенную классическим способом: Если величина зависит от величины
, и с течением
величина
испытывает изменение, то скоростью называется предел отношения приращений величин
и
:
|
![]() | (6) |
Ещё одно небольшое отступление нужно сделать для описания и выбора точной модели преобразования Пуанкаре. Дело в том, что пока рассматриваются лишь пространственно-временные преобразования, им в действительности удовлетворяет два различных преобразования:
![]() | (7) |
и
![]() | (8) |
Здесь в первом случае используется скалярно-векторное сопряжение, во втором - скалярно-алгебраическое. Для того, чтобы выявить, в чем они различаются с точки зрения группы Пуанкаре, распишем их операторное представление:
![]() | (9) | |
![]() | (10) | |
![]() | (11) | |
Видно, что эти два оператора отличаются псевдоскалярной частью параметра. В силу того, что её можно вынести из оператора преобразования, оба варианта могут быть представлены как:
![]() | (12) |
![]() | (13) |
где через обозначен оператор
с вынесенной псевдоскалярной составляющей из его параметров:
![]() | (14) |
Таким образом, предстоит сделать выбор между двумя вариантами преобразований: 1) использовать скалярно-векторное сопряжение или 2) использовать скалярно-алгебраическое сопряжение. Выберем вариант 1 с отбрасыванием рассмотрения псевдоскалярной составляющей параметра преобразований в силу того, что пока в наши цели не входит рассмотрение псевдоскалярных преобразований и в силу того, что векторное сопряжение удобнее в силу его линейности.
А именно:
![]() | (15) |
![]() | (16) |
Поэтому мы можем выполнить дальнейший вывод более наглядно.
В силу того, что величина и её приращение являются скалярами, имеем:
![]() | (17) |
И в случае когда мало, имеем:
![]() | (18) |
![]() | (19) |
Используя это соотношение для преобразования полуточки, распишем выражение для преобразования точки:
|
![]() | |||
![]() | (20) |
Оставив члены первого порядка малости по :
![]() | (21) |
Используя определение полуточки
получим:
![]() | (22) |
Положив точку функцией величины и сравнив с разложением её в ряд Тейлора в окрестности
, получим:
![]() | (23) |
Это выражение и является определением скорости точки , если она движется во времени
, испытывая в каждый его момент преобразование Пуанкаре:
![]() | (24) |
Выражение (23) является скалярно-векторно сопряжённым самому себе:
![]() | (25) |
То есть абсолютное приращение точки выполняется несмотря на произвольность величины
так, что точка
остается сама себе скалярно-векторно сопряжённой.
Отметим также, что в силу свойства точки верно равенство:
![]() | (26) |
Далее...
Придерживаясь модели полной группы Пуанкере, мы должны считать величины и
дуальными бикватернионами, имеющими 16 компонент. В силу требования скалярно-векторной сопряжённости самой себе точка часть компонентов имеет нулевыми.
Для понимания дальнейшего вывода представим величины и
в виде, явно содержащем разделение на главную и дуальную части:
![]() | |||
![]() | (27) |
Здесь индексом обозначены главные части, а индексом
- дуальные. Пользуясь введенным обозначением, распишем выражение скорости:
![]() |
Сгруппировав главные и дуальные части, получим:
![]() | (28) |
Используя это разложение в главных и дуальных частях и задавая различные частные случаи величин ,
,
и
, оценим характер вклада в скорость точки
отдельных величин
и
. А также найдём их сопоставление отдельным общеизвестным скоростям.
|
Случай 1.
Зададим точку как дуальный вектор с единичной главной частью:
![]() | (29) |
а величину как дуальный вектор с нулевой главной частью:
![]() | (30) |
Тогда, используя разложение (29), найдем скорость точки при таком преобразовании:
![]() | (31) |
В силу того, что выбрано условие , имеем:
![]() | (32) |
Таким образом, в приведённых выше условиях величина является линейной скоростью приращения дуальной части
. В силу того, что в состав величины
входит как полярная, так и дуальная части, то есть:
![]() | (33) |
то в силу свойств функций и
, определённых как
![]() | (34) |
![]() | (35) |
И имеющих свойства сопрягаться:
![]() | (36) |
![]() | (37) |
Имеем равенство для первого случая:
![]() | (38) |
Или: величина является линейной скоростью изменения вектора
.
Случай 2. Выберем величины и
такими, что выполняются следующие условия:
![]() | (39) |
Используя выражение (29) с этими условиями, получим:
![]() | (40) |
В силу выбора и свойства (38) имеем:
![]() | (41) |
И, также в силу свойства (38), в выражении скорости остаются члены:
![]() | (42) |
Переведя величины и
в векторную запись и раскрыв произведение по правилу произведения кватернионов, получим:
![]() | (43) |
где с помощью скобок [] обозначено традиционное векторное произведение 3-х мерных векторов и
.
Или: величина является угловой скоростью вращения вектора
.
Таким образом, величины и
имеют всем хорошо известные механические кинематические интерпретации.
Целью настоящей работы было дать модель скорости и её иллюстрация в частных случаях. Поэтому полный разбор сочетаний и
здесь не рассматривается и автор полагает, что такое рассмотрение должно стать темой отдельной работы, посвящённой именно этому вопросу.
К будущим исследованиям могут быть отнесены: величины и
, а также отдельное исследование главной части точки
. В данной работе рассматривалась лишь её дуальная составляющая. Но общая модель преобразования Пуанкаре потребовала объединения в одну величину дуальной и главной частей вектора
, существенно увеличив его размерность. Автор полагает, что будущие исследования покажут оправданность такого объединения. Кроме того, остаётся совершенно нерассмотренной возможность замены скалярно-векторного сопряжения на скалярно-алгебраическое в преобразовании Пуанкаре и следствия такой замены.