Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

8.Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если существует число c1 такое, что xn >= c1 при всех n = 1, 2,.... Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если существует число c2 такое, что xn <=c2 при всех n = 1, 2,.... Последовательность, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной.

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают.

Если последнее неравенство заменить на f(x1) > f(x2), f(x1) <=f(x2) или f(x1) >= f(x2), то получим определение соответственно убывающей, неубывающей и невозрастающей функций. Все такие функции называются монотонными; если неравенства в определениии строгие, то и функции называются строго монотонными.

10. Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

— возрастающая

11. Последовательность {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества {\displaystyle X} называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним. {\displaystyle \{x_{n}\}} {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1}}12.-13. Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если справедливо неравенство () для всех .

14. Последовательность {xn} называется фундаментальной, если для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при любых m > N и n > N выполняется неравенство |xm − xn| < ε.

Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

16. Пусть функция f(x) определена в проколотой окрестности U˚(x0) точки x0. Число a называется пределом функции f(x) при x → x0, если для любой последовательности {xn} точек из U˚(x0), для которой lim(n→∞) xn = x0, выполняется равенство lim(n→∞) f(xn) = a.

17. Функция ϕ(x) называется бесконечно малой при x → x0, если lim(x→x0) ϕ(x) = 0.

18. Функция f(x), определённая в некоторой проколотой окрестности точки x0, называется бесконечно большой при x → x0, если lim(x→x0) |f(x)| = +∞.

19. Пусть бесконечно малые при x → x0 функции ϕ(x) и ψ(x) отличны от нуля в некоторой проколотой окрестности точки x0. Если существует конечный отличный от нуля предел lim(x→x0) ϕ(x)/ ψ(x) = C, то говорят, что ϕ(x) и ψ(x) являются при x → x0 бесконечно малыми одного порядка и пишут ϕ(x) = O(ψ(x)), обязательно указывая, при каком предельном переходе имеет место это соотношение (в данном случае при x → x0).

20. Если при x → x0 не существует ни конечного, ни бесконечного предела отношения ϕ(x) ψ(x), то говорят, что ϕ(x) и ψ(x) не сравнимы при x → x0.

21. Если lim(x→x0) ϕ(x)/ψ(x) = 1, функции ϕ(x) и ψ(x) называют эквивалентными бесконечно малыми и пишут ϕ(x)~ψ(x), x → x0.

22. Пусть ϕ(x) и ψ(x) бесконечно малые при x → x0. Если при некотором k ϕ(x) и ψ(x)^k являются бесконечно малыми одного порядка, то говорят, что ϕ(x) имеет порядок малости k по сравнению с ψ(x) при x → x0.

23.Пусть x0 — внутренняя точка промежутка I, на котором задана числовая функция f(x). Если x0 ∈ I, то приращением аргумента называют разность ∆x = x − x0; соответствующим приращением функции называют ∆f(x0) = f(x) − f(x0) = f(x0 + ∆x) − f(x0).

25. Функция называется непрерывной на интервале ( A,B), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Если I — промежуток числовой прямой, и f: I → R, то функция f(x) называется непрерывной на I, если эта функция непрерывна в каждой точке промежутка I

26. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна на интервале ( A,B), непрерывна справа в точке B и непрерывна слева в точке A.

Если I — промежуток числовой прямой, и f: I → R, то функция f(x) называется непрерывной на I, если эта функция непрерывна в каждой точке промежутка I. При этом непрерывность на левом конце промежутка (если он принадлежит I) понимается как непрерывность справа; непрерывность на правом конце (если он принадлежит I) понимается как непрерывность слева. В частности, можно говорить о функциях, непрерывных на отрезке.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 или в проколотой окрестности этой точки. Если данная функция не является непрерывной в точке x0, то x0 называется точкой разрыва функции f(x).

28. Если x0 — точка разрыва первого рода, и если f(x0 − 0) = f(x0 + 0), то такой разрыв называют устранимым.

29. Если x0 — точка разрыва функции f(x), и существуют конечные пределы lim x→x0− f(x) = f(x0 − 0) и lim x→x0+ = f(x0 + 0), то x0 называется точкой разрыва первого рода.

30. Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции у= f(x) если граница справа или слева не существует или бесконечна.