ВВЕДЕНИЕ
При выполнении заочниками контрольных работ и подготовке к экзамену необходимо изучить теоретический материал, ориентируясь на программу курса, ознакомиться с решением примеров, приведенных в методических указаниях, прорешать контрольные задания.
Правила оформления и выполнения контрольных работ
При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться указанных ниже правил.
1. Студент должен выполнять контрольные задания по варианту, в двойном номере которого вторая цифра совпадает с последней цифрой его шифра – номера его зачетной книжки.
2. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клеточку чернилами синего или черного цвета.
3. Образец оформления титульного листа (обложки) тетради можно посмотреть на выпускающей кафедре или на кафедре высшей математики.
4. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании. Работы, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не рецензируются.
5. Задачи нужно решать в том порядке, в котором они указаны в контрольной работе.
6. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие.
Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи (рисунки).
7. Компьютерное оформление работы не рецензируется.
8. Возвращенная прорецензированная незачтенная работа исправляется студентом; исправление записывается в конце работы. Вносить исправления в проверенный текст работы – запрещается.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
2.1.Комплексные числа
Комплексным числом называется число вида ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Пример выполнения задания № 1. Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме
).
Для этого умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Смотрим на формулу . В знаменателе уже есть
, поэтому знаменатель и числитель нужно умножить на сопряженное выражение
, то есть на
:
Представим в тригонометрической форме число . Найдем модуль комплексного числа
то - воспользуемся нечетностью арктангенса. К сожалению, в таблице отсутствует значение
, поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:
– число
в тригонометрической форме.
Элементы линейной алгебры
Пример выполнения задания № 2. Найти X из матричного уравнения
.
Решение
Запишем уравнение в матричной форме , где
,
,
, 0=
.
Преобразуем уравнение . Выполним действия с матрицами в правой части
.
Обозначим полученную матрицу и запишем уравнение в виде
.
Умножим обе части равенства слева на , получим
.
С учетом того, что , решением уравнения будет
,
где – матрица обратная матрице
.
Если определитель матрицы отличен от нуля, то она имеет обратную, которая имеет вид:
,
где - определитель матрицы
,
- алгебраическое дополнение элемента
матрицы
.
Для данной системы:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Таким образом,
.
Найдем решение данного уравнения, умножив матрицу А -1 на матрицу .
.
Проверим найденное решение, подставив его в исходное уравнение.
.
Итак, найденное значение
обращает уравнение в тождество.
Ответ: .
Пример выполнения задания № 3. Решить систему методом Крамера
Решение
Если – главный определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы, а
– вспомогательный определитель, полученный из главного заменой j –го столбца столбцом свободных членов, то при
система имеет единственное решение, определяемое по формулам
. Эти формулы называются формулами Крамера. Для нашей системы
;
;
;
;
;
;
.
Решение системы (0; –1; 2).
Сделаем проверку, подставив найденные значения в систему
Итак, найденное решение обращает уравнения в верные равенства.
Ответ: (0; –1; 2).