Пример выполнения задания № 4. Найти угол между векторами 
, если 
, 
, 
, 
, 
.
Решение
Скалярным произведением двух векторов 
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
.
Из определения скалярного произведения
.
Найдем 
, 
, 
.
, где
, 
, 
.
С учетом этого
,
,
.
Косинус угла между векторами 
и 
равен
.
Ответ: 
.
Пример решения задания №5. Даны координаты вершин пирамиды 
. Найти:
1. длину ребра 
;
2. угол между ребрами и 
;
3. угол между ребром 
и гранью 
;
4. площадь грани ;
5. объем пирамиды;
6. уравнение ребра 
;
7. уравнение грани .
, 
, 
, 
.
| A0 |
| A3 |
| A2 |
| A1 |
Для решения задачи введем векторы:
, 
, 
.
1) Длина ребра 
равна длине вектора 
, т.е. 
.
2) Найдем косинус угла 
между ребрами 
и 
как косинус угла между векторами и 
, используя определение скалярного произведения
.
Так как
; 
;
.
3) Синус угла 
между ребром 
и гранью равен модулю косинуса угла между 
и нормальным вектором плоскости , который находится с помощью векторного произведения векторов
,
.
Так как
;
; 
;
.
4) Площадь грани находится по формуле
.
5) Объем V пирамиды находится через абсолютную величину смешанного произведения векторов , , .
.
6) Канонические уравнения прямой 
записываются в виде
,
где 
координаты точки 
, а 
- координаты точки 
.
Таким образом,
.
7) Уравнение плоскости имеет вид
,
где 
- координаты точки ;
– координаты точки 
;
– координаты точки 
.
Таким образом,
или
.
Сделаем проверку полученного уравнения, подставив координаты точек , , в это уравнение.
Получены верные равенства, значит уравнение плоскости составлено верно.
Ответ: 1) 
; 2) ; 3) ; 4) 
; 5) 
; 6) ; 7) .
Пример решения задания № 6. Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки 
к расстоянию до прямой 
постоянно и равно 
. Сделать чертеж полученной линии.
Решение
Для наглядности отметим на координатной плоскости точку 
и заданную линию. Обозначим точку, лежащую на предполагаемой линии, 
; расстояние от 
до прямой обозначим 
, от до обозначим 
.
.
.
По условию задачи
или 
.
Возведем в квадрат обе части уравнения.
|
.
Получили каноническое уравнение эллипса.
Вершины эллипса: 
, 
, 
, 
. Чтобы изобразить эллипс, отметим его вершины на координатной плоскости и соединим их плавной линией.
Справочный материал для выполнения задания 6.
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 
. Расстояние между фокусами равно 
. Каноническое уравнение эллипса
, где 
.
Если фокусы эллипса расположены на 
, то 
; если фокусы расположены на 
, то 
.
|
Для изображения эллипса построим прямоугольник со сторонами (по оси 
) и 
(по оси 
) и с центром в начале координат. В полученный прямоугольник впишем эллипс.
Если уравнение эллипса имеет вид;
,
то его центр находится в точке 
.
Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная . Расстояние между фокусами 
(
).
Каноническое уравнение гиперболы
, где 
.
Если фокусы гиперболы расположены на 
, то 
, если фокусы расположены на 
, то 
. Гипербола с уравнением 
называется сопряженной к гиперболе с уравнением 
.
|
Для изображения гиперболы построим прямоугольник со сторонами (по оси ) и (по оси ) и с центром в начале координат. В прямоугольнике проводим диагонали (с продолжением), которые являются асимптотами гиперболы, вершины которой находятся в точках 
и 
. Ветви гиперболы с уравнением проходят через точки 
и 
. Ветви сопряженной гиперболы проходят через точки 
и 
.
Если уравнение имеет вид
,
то центр гиперболы находится в точке .
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Если координаты фокуса 
, уравнение директрисы 
, то каноническое уравнение параболы 
задает параболу с вершиной в начале координат, симметричную относительно оси . При 
ветви параболы направлены в положительном направлении оси , при 
– в противоположную сторону.
Если координаты фокуса 
, уравнение директрисы 
, то каноническое уравнение параболы 
задает параболу с вершиной в начале координат симметричную относительно оси 
. При ветви параболы направлены вверх, при – вниз.