Распределение семей города по размеру среднедушевого дохода в январе 1998 г.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА. СТРУКТУРНЫЕ СРЕДНИЕ

Мода – значение признака, наиболее часто встречающегося в исследуемой совокупности.

Медиана – значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Для дискретных вариационных рядов модой будет значение варианта с наибольшей частотой. Вычисление медианы в дискретных рядах распределения имеет специфику. Если такой ряд распределения имеет нечётное число членов, то медианой будет вариант, находящийся в середине ранжированного ряда. Если ранжированный ряд распределения состоит из чётного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух значений признака, расположенных в середине ряда.

Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 7.10.

Т а б л и ц а 7.10.

Распределение обуви, проданной коммерческой фирмой в январе 2008г.

В этом ряду распределения мода равна 42. Именно этот размер обуви в январе 2008 г. пользовался наибольшим спросом.

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание продолжается до получения накопленной суммы частот, впервые превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила 100, её половина – 50. Накопленная сумма частот ряда равна 62. Ей соответствует значение признака равное 40. Таким образом, 40-й размер обуви является медианным.

Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле:

где x_Mo – нижняя граница значения интервала, содержащего моду;

i_Mo – величина модального интервала;

f_Mo – частота модального интервала;

f_Mo–1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана интервального ряда распределения определяется по формуле:

,

где x_Me – нижняя граница значения интервала, содержащего медиану;

i_Me – величина медианного интервала;

∑f – сумма частот;

S_Me-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f_Me – частота медианного интервала.

Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 7.11.

руб.

Следовательно, наибольшее число семей имеют среднедушевой доход 772 руб.

руб.

Таким образом, половина семей города имеет среднедушевой доход менее 780 руб., остальные семьи – более 780 руб.

Т а б л и ц а 7.11.

Распределение семей города по размеру среднедушевого дохода в январе 1998 г.

Группы семей по размеру дохода, руб.	Число семей fi	Накопление частоты	Накопление частоты, % к итогу
До 500 500 – 600 Me Mo 600 – 700 700 – 800 800 – 900 900 – 1000 Свыше 1000
Итого	∑fi	-	-

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Например, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равных части, десять или сто частей. Эти величины называются «квартили», «децили» и «перцентили».

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квартиль нижний (Q₁), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшим значением признака, и квартиль верхний (Q₃), отсекающий ¼ часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц будут заключены меньше по величине Q₁; 25% единиц будут заключены между Q₁ и Q₂; 25% - между Q₂ и Q₃ и остальные 25% превосходят Q₃. Средним квартилем Q₂ является медиана.

Для расчёта квартилей по интервальному вариационному ряду используют формулы:

;

,

где x_Q1 – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

x_Q3 – нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

S_Q1-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

S_Q3-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему верхний квартиль;

f_Q1 – частота интервала, содержащего нижний квартиль;

f_Q3 – то же для верхнего квартиля.

Рассмотрим расчёт нижнего и верхнего квартилей по данным табл. 7.11. Нижний квартиль находится в интервале 600-700, накопленная частота которого равна 30%. Верхний квартиль лежит в интервале 800-900 с накопленной частотой 77%. Поэтому получим:

руб.

руб.

Вывод: 25% семей имеют среднедушевой доход менее 671 руб., 25% семей – свыше 891 руб., а остальные имеют доход в пределах 671 – 891 руб.

Децили – вариации, делящие ранжированный ряд на десять равных частей. Первый дециль d₁ делит совокупность в соотношении 1/10 к 9/10; второй дециль d₂ – в соотношении 2/10 к 8/10 и т. д.

Вычисляются они по той же схеме, что медиана и квартили: