Здесь в качестве критерия прочности принята величина наибольшего касательного напряжения. Согласно этой теории, предполагается, что предельное состояние материала наступает, когда наибольшее касательное напряжение достигает своего допускаемого значения, которое определяется из опытов на растяжение-сжатие. В этом случае условие прочности принимает вид:
Максимальные касательные напряжения при объемном напряженном состоянии определяются как
тогда допускаемые касательные напряжения, определяемые при простом растяжении, можно найти следующим образом:
Таким образом, окончательно, условие прочности по III теории прочности запишем в виде:
где эквивалентное напряжение
Третья теория прочности хорошо подтверждается опытами для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Недостаток ее заключается в том, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения σ2, которое, как показывают эксперименты, также оказывает, хотя и не значительное, влияние на прочность материалов.
IV. Критерий удельной потенциальной энергии формоизменения
В качестве критерия прочности в этом случае принимают количество удельной потенциальной энергии формоизменения, накопленной деформированным элементом. Согласно этой теории, опасное состояние наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает своего предельного значения, которое определяется из опытов на простое растяжение-сжатие. Здесь условие прочности можно записать так:
Запишем удельную потенциальную энергию формоизменения через главные напряжения при объемном напряженном состоянии
откуда при растяжении-сжатии
Отсюда, условие прочности, записанное через нормальные напряжения,примет вид
при этом эквивалентные напряжения будем определять по формуле:
Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. При этом четвертая теория более точно, чем третья, описывает появление в материале малых пластических деформаций. По сути дела эти две теории более правильно называть теориями пластичности.
V. Теория Мора
Согласно теории Мора, два напряженных состояния равноопасны, если для соответствующих двух главных напряжений 
соблюдается соотношение
Отсюда вытекает формула для эквивалентного напряжения:
Здесь коэффициент k представляет собой отношение предельных напряжений при одноосном растяжении и при одноосном сжатии. Если принять, что коэффициенты запаса прочности по отношению к предельным напряжениям растяжения и сжатия одинаковы, то k можно определить из выражения:
Окончательно условие прочности по теории Мора запишется следующим образом
Теория прочности Мора позволяет установить сопротивление разрушению материалов, обладающих разными сопротивлениями растяжению и сжатию. Как видим, гипотеза Мора (как и III теория) не учитывает влияния промежуточного главного напряжения σ2 – это несомненный ее недостаток. Опыты показывают, что достаточно точные результаты гипотеза Мора дает для напряженных состояний смешанного типа, то есть для тех случаев, когда σ1 и σ3 имеют разные знаки.
Таким образом, для практических расчетов следует рекомендовать четвертую (или третью) теории прочности для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, и теорию Мора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию, то есть для хрупких материалов (для них в настоящее время пока еще применяют и вторую теорию прочности).