Операционное исчисление.

Вопросы к экзамену по математическому анализу (2 семестр).

Криволинейные интегралы

1. Криволинейный интеграл первого рода: определение, свойства, вычисление, приложения.
2. Криволинейный интеграл второго рода: определение, свойства, вычисление, приложения.
3. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

Комплексные числа и функции комплексной переменной.

1. Понятие множества комплексных чисел (к.ч.). Операции в нем.
2. Алгебраическая форма записи к.ч. Действия над числами в этой форме.
3. Геометрический смысл к.ч., модуль и аргумент.
4. Тригонометрическая форма записи к.ч. Действия над числами в этой форме. Формула Эйлера.
5. Понятие окрестности комплексной точки. Предел последовательности комплексных чисел.
6. Понятие функции комплексной переменной (ФКП). Предел и непрерывность ФКП.
7. Определение производной ФКП, ее свойства.
8. Условие Коши – Римана об аналитической ФКП. Формулы вычисления производной.
9. Геометрический смысл модуля и аргумента производной ФКП.
10. Гармонические функции. Теорема о действительной и мнимой частях ФКП. Восстановление одной части по известной другой.
11. Элементарные ФКП (их свойства):

1) линейная; 2) дробно – линейная; 3) показательная; 4) логарифмическая; 5) степенная; 6) тригонометрическая; 7) гиперболическая.

1. Понятие интеграла ФКП, его свойства.
2. Интегральная теорема Коши:

а) для односвязной области;

б) ее распространение на многосвязную.

1. Теорема о производной интеграла ФКП с переменным верхним пределом. Аналог формулы Ньютона – Лейбница.
2. Интегральная формула Коши (о способе вычисления интеграла ФКП).
3. Понятие вычета функции f(z). Основная теорема о вычетах (способ вычисления интеграла ФКП). Вычисление вычетов относительно простых и кратных полюсов.

Обыкновенные ДУ (дифференциальные уравнения).

1. Понятие ДУ I порядка, различные формы записи. Геометрический смысл.
2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (без док-ва). Понятие общего и частного решения.
3. Методы интегрирования ДУ I порядка:

а) с разделяющимися переменными; б) однородное; в) линейное; г) Бернулли; д) в полных дифференциалах.

1. ДУ II порядка: понятие, различные виды, задача Коши и теорема Коши.
2. Линейные однородные ДУ II порядка: общий вид, теорема о свойстве решений, фундаментальная система решений.
3. Теорема о структуре общего решения линейного однородного ДУ II порядка.
4. Линейные однородные ДУ II порядка с постоянными коэффициентами: общее решение в случаях: а) k₁≠k₂?R; б) k₁=k₂; в) k₁=α + βi, k₂= α – βi.
5. Линейные неоднородные ДУ II порядка: теорема о структуре общего решения.
6. Вид общего решения линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами в случаях: а) специальной правой части; б) неспециальной.
7. Линейные однородные и неоднородные ДУ n-го порядка.
8. Решение нормальных систем линейных ДУ методом сведения к одному ДУ.

Числовые и функциональные ряды.

1. Понятие числового ряда, частичной суммы, суммы, свойства числовых рядов, сходимость.
2. Необходимый признак сходимости числового ряда.
3. Знакоположительные ряды: общий вид, сходимость. Достаточные признаки сходимости: признак Даламбера, радикальный и интегральный Коши.
4. Знакочередующиеся ряды: общий вид. Достаточный признак сходимости Лейбница.
5. Знакопеременные ряды: достаточный признак сходимости. Абсолютная и условная сходимость.
6. Функциональные ряды: общий вид, точка сходимости, область сходимости.
7. Степенные ряды: общий вид. Теорема Абеля об области сходимости.
8. Ряд Тейлора. Условие разложения функции в ряд Тейлора.
9. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора при x₀=0: e^x, cos(x), sin(x), (1+x)ⁿ, ln(1+x), arctg(x).
10. Периодические процессы и периодические функции. Тригонометрический ряд.
11. Ряд Фурье для функций с периодом 2π, коэффициенты Фурье.
12. Условия разложения функции в ряд Фурье (теорема Дирихле).
13. Ряд Фурье для четных, нечетных функций с периодом 2π.
14. Ряд Фурье для функций с произвольным периодом 2L.
15. Комплексная форма ряда Фурье.
16. Интеграл Фурье, его комплексная форма.

Операционное исчисление.

1. Преобразование Лапласа: определение, требования к оригиналу.

2. Условие существования интеграла Лапласа (теорема).

3. Определение изображения для некоторых элементарных функций: f(t) = e^at, f(t) = tⁿ, f(t) = cost.

4. Свойства преобразования Лапласа:

1) теория линейности (изображение для sinω, cosωt)

2) теорема подобия

3) теорема затухания [или смещения] (изображение для e^at sinω, e^at cosωt)

4) теорема запаздывания: геометрич. смысл, показать на примере единичных импульсов

6) теорема опережения: геометрич. смысл

7) изображение для периодического оригинала.

8) Восстановление оригинала по изображению:

1) по таблице

2) разложение рациональной дроби на простейшие

3) через вычеты: формула обращения (обратн. преобразованию Лапласа); лемма Жордана; теорема обращения, использующая лемму Жордана.

9) Дифференцирование оригинала (теорема), интегрирование оригинала (теорема).

10) Дифференцирование и интегрирование изображения.

11) Свертка функций; теорема умножения изображений; интеграл Дюамеля.

12) Свертка изображений, теорема умножения оригиналов.

13) Приложение преобразования Лапласа к решению линейных ДУ с постоянными коэффициентами и систем ДУ.

14) Применение интеграла Дюамеля к решению ДУ.

15) Связь преобразований Фурье и Лапласа.