Вероятность получить не больше х успехов по формуле Пуассона

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задания следует оформлять в отдельной тетради, на обложке которой кроме фамилии и номера группы должны быть указаны следующие данные:

a =, b =, g =, q =, m =, n =.

Здесь a - номер факультета (института) b– год поступления, g и q– две последние цифры номера группы, m и n– две цифры номера студента по списку.

Так, у пятого студента группы 710062 a = 7, b = 0, g = 6, q = 2, m = 0, n = 5 .

Задание 1

Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета осуществляется в (70+10m+ν)% всего времени полета. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1(m+1), в условиях перегрузки 0,1a+0,01ν. Вычислить надежность прибора за время полета.

Задание 2

Прибор состоит из двух последовательно включенных узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени Т) первого узла равна 0,1a+0,01(10m+ν), второго 0,01+0,1g. За время испытания прибора в течение времени Т зарегистрирован отказ прибора. Найти вероятности следующих событий:

1) А₁={отказал только первый узел}

2) A₂={отказали оба узла}

Задание 3

Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого из элементов в одном опыте равна p =(10μ+ν+θ)%. Случайная величина Х – число отказавших элементов в одном опыте. Определить следующие характеристики СВ Х:

1) закон распределения СВ Х;

2) построить многоугольник распределения СВ Х;

3) F(x) и построить ее график;

4) M(X);

5) D(X) и σ(X);

6) ;

7) β(X) – коэффициент асимметрии;

8) γ(X) – коэффициент эксцесса;

9) моду СВ Х.

Определить вероятность того, что в одном опыте откажут

а) не более двух элементов

б) хотя бы один элемент.

Задание (кроме пунктов 2,3 и 9) выполнить с использованием статистических функций EXCEL. Пункты а) и б) выполнить на Scilab.

Пояснение.

Вероятность получить не больше х успехов по формуле Бернулли

Вычисляется с помощью функции cdfbin, которая может записываться так:

[P,Q]=cdfbin("PQ",S,Xn,Pr,Ompr)

[S]=cdfbin("S",Xn,Pr,Ompr,P,Q)

[Xn]=cdfbin("Xn",Pr,Ompr,P,Q,S)

[Pr,Ompr]=cdfbin("PrOmpr",P,Q,S,Xn)

Здесь S - число успехов в Xn опытах, Pr – вероятность успеха в одном опыте, Ompr=1- Pr, Q=1 – P.

Найдем вероятность того, что произойдет отказ не более двух элементов из трех имеющихся, если вероятность отказа одного элемента равна 0,6.

а) Не более двух элементов – это либо 0, либо 1, либо 2 элемента.

P₃(x£2)=P₃(0)+P₃(1)+P₃(2)=1-P₃(3)

cdfbin("PQ",2,3,.6,.4)

ans =

0.784

Вероятность того, что откажут ровно два элемента можно вычислить так:

cdfbin("PQ",2,3,.6,.4)-cdfbin("PQ",1,3,.6,.4)

ans =

0.432

Задание 4

В результате анализа качества изготовляемых предприятием изделий установлено, что в среднем брак составляет (m+n)%. За смену предприятие выпускает m =100+m+g изделий.

1. вычислить М(Х) и D(Х) (Х – число бракованных изделий за смену)

2. Р_m(q+n+5)

3. P_m (не более m+n бракованных изделий)

4. Р_m(0)

Пункты 2,3,4 выполнить на EXCEL и Scilab.

Пояснение.

Вероятность получить не больше х успехов по формуле Пуассона

[P,Q]=cdfpoi("PQ",S,Xlam)

[S]=cdfpoi("S",Xlam,P,Q)

[Xlam]=cdfpoi("Xlam",P,Q,S);

S – число успехов в формуле Пуассона;

Xlam -

P – вероятность того, что интересующее нас событие произойдет не менее S раз;

Q=1-Р

Найдем вероятность того что в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых некоторое событие А может произойти с вероятностью 0.7, событие А произойдет не более 7 раз.

p=cdfpoi("PQ",7,7)

p =

0.5987138

Вероятность того, что интересующее нас событие наступит ровно 12 раз:

p=cdfpoi("PQ",12,7)-cdfpoi("PQ",11,7)

p =

0.0263498

Задание 5

Плотность распределения f(x) вычисляется по формуле:

Найти

1) Константу c

2) F(x) и построить ее график

3) и

4) М(Х) и D(X)

Задание 6

Случайная величина X распределена нормально с параметрами: и . Что больше, или ?

Задачу решить с использованием статистических функций EXCEL и Scilab.

Пример вычислений в Scilab.

cdfnor – функция распределения нормально распределенной СВ с параметрами (Std) и m (Mean). Q=1-P, X – верхний предел интегрирования.

Может записываться так:

[P,Q]=cdfnor("PQ",X,Mean,Std)

[X]=cdfnor("X",Mean,Std,P,Q)

[Mean]=cdfnor("Mean",Std,P,Q,X)

[Std]=cdfnor("Std",P,Q,X,Mean)

СВХ распределена по нормальному закону с и . Вычислить

cdfnor("PQ",3.9,5.5,1.08) -cdfnor("PQ",2.9,5.5,1.08)

ans =

0.0612060

Задание 7

Производится взвешивание некоторого вещества без систематических погрешностей. Случайные погрешности взвешивания подчинены нормальному закону распределения с г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с погрешностью, не превышающей по модулю г. Задачу решить с использованием статистических функций EXCEL и Scilab.