Для студентов направлений бакалавриата
Уфа 2012
УДК 378.147:51
ББК 74.58:22.1
М34
Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)
Составители: ст. преподаватель, к.т.н. Валиахметова Ю.И.
ст. преподаватель Карамов В.И.
Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.
Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики
доцент Лукманов Р.Л.
Предварительно приведем вопросы по разделу, на которые следует ответить перед решением задач и на зачете.
1. Основные понятия, связанные с матрицами (матрица-строка, матрица-столбец, определитель квадратной матрицы и т.п.)
2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Свойства этих действий.
3. Умножение матриц и его свойства.
4. Вычисление определителей второго, третьего и высших порядков.
5. Обратная матрица, ее строение.
6. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений, решение ее с помощью обратной матрицы.
7. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы, по формулам Крамера и методом Гаусса.
8. Исследование системы уравнений первой степени общего вида; основная и расширенная матрицы; ранг матрицы; теорема Кронекера-Капелли.
Далее рассмотрим образец решения некоторых типовых задач.
Задача 1. Вычислить определитель 
Решение. По формуле 
получим:
Ответ. 59.
Задача 2. Вычислить определитель 
Решение. Используя формулу треугольников
получим:
Ответ. -25.
Задача 3. Вычислить определитель 
.
Решение. Третий столбец определителя содержит два нулевых элемента. Используя теорему Лапласа, разложим определитель по этому столбцу:
.
Ответ. -36.
Задача 4. Вычислить определитель 
.
Решение. Упростим определитель: 
Раскладываем определитель по первому столбцу:
Вынесем общий множитель (5) первого столбца за знак определителя. Получим:
Ответ. -150.
Задача 5. Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частное решение.
Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
Так как 
, то система совместна и является неопределенной.
Количество главных переменных равно 
, количество свободных переменных равно 
.
Выберем какой-нибудь отличный от нуля минор второго порядка полученной матрицы 
, например, минор 
. Его столбцы – первый и второй столбцы матрицы - соответствуют переменным 
и 
- это будут главные переменные, а 
и 
- свободные переменные.
Заметим, что в качестве главных переменных в данном примере нельзя выбрать пару 
и , т.к. любой соответствующий им минор равен нулю:
, 
, 
.
Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:
Перепишем ее в виде:
или 
Обозначим свободные переменные: через 
, 
через 
. Запишем общее решение системы:
; частное решение при 
.
Ответ. 
– общее решение, – частное решение системы уравнений.
Задача 6. Исследовать систему линейных уравнений:
Решение. Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:
Т ак как 
, то система несовместна (не имеет решений). В самом деле, последней строке полученной расширенной матрицы соответствует уравнение 
, не имеющее решений.
Ответ: система несовместна.
Задача 7. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений:
Решение. Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:
Так как 
, то система является неопределенной. В качестве главных переменных можно выбрать 
и , соответствующие столбцам ненулевого минора второго порядка: ; в качестве свободных переменных – 
и 
.
Запишем систему, соответствующую полученной матрице:
Из второго уравнения получим 
. Подставляя это выражение в первое уравнение, получим 
.
Обозначая свободные переменные: 
через , через 
, запишем общее решение системы:
или
.
Ответ. 
.
Задача 8.
Найти матрицу С, если
Решение. 
,
.
Ответ. 
Задача 9. Решить матричное уравнение
Решение. Если матричное уравнение имеет вид 
, где 
- матрицы, заданные по условию, а 
- искомая матрица, то решение уравнения ищется в виде 
.
Найдем обратную матрицу:
, где 
- алгебраические дополнения элементов матрицы 
.
Так как определитель матрицы 
отличен от нуля, то обратная матрица существует и единственна.
, 
,
, 
.
Тогда
.
.
Проверка. 
.
Ответ. 
.
Задача 10. Решить матричное уравнение
Решение. Если матричное уравнение имеет вид 
, где 
- матрицы, заданные по условию, а 
- искомая матрица, то решение уравнения ищется в виде 
, где 
- обратная матрица.
Найдем обратную матрицу: 
, где 
- алгебраические дополнения элементов матрицы 
.
, значит обратная матрица существует и единственна.
,
.
Проверка.
Ответ. 
.
Задача 11. Решить систему уравнений методом Крамера:
Решение. Найдем определитель матрицы системы:
.
Так как 
, то система имеет единственное решение.
Найдем определители 
, заменив в матрице коэффициентов соответственно первый, второй, третий столбцы столбцом свободных членов.
, 
, 
.
Ответ. 
, 
, 
.
Задание 1. Вычислить определители матриц:
а) 
б) 
где 
– последняя цифра шифра, 
– предпоследняя цифра шифра.
Задание 2. Найдите матрицу 
, если:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
;
13) 
;
14) 
;
15) 
;
16) 
;
17) 
;
18) 
;
19) 
;
20) 
;
21) 
;
22) 
;
23) 
;
24) 
;
25) 
;
26) 
;
27) 
;
28) 
;
29) 
;
30) 
.
Задание 3. Решите матричные уравнения и проверьте подстановкой:
1 a) 
; б) 
;
2 а) 
; б) 
;
3 а) 
; б) 
;
4 a) 
; б) 
;
5 а) 
; б) 
;
6 а) 
; б) 
;
7 a) 
; б) 
;
8 а) 
; б) 
;
9 а) 
; б) 
;
10 а) 
; б) 
;
11 а) 
; б) 
;
12 а) 
; б) 
;
13 а) 
; б) 
;
14 а) 
; б) 
;
15 а) 
; б) 
;
16 а) 
; б) 
;
17 а) 
; б) 
;
18 а) 
; б) 
;
19 а) 
; б) ;
20 а) 
; б) 
;
21 а) 
; б) 
;
22 а) 
; б) 
;
23 а) 
; б) 
;
24 а) 
; б) 
;
25 а) 
; б) 
;
26 а) 
; б) 
;
27 а) 
; б) 
;
28 а) 
; б) 
;
29 а) 
; б) 
;
30 а) 
; б) 
.
Задание 4. Решите систему уравнений методом Крамера и с помощью обратной матрицы:
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
26 
27 
28 
29 
30 
Задание 5. Исследуйте следующие системы уравнений и найдите их решения:
1 а) 
б) 
2 а) 
б) 
3 а) 
б) 
4 а) 
б) 
5 а) 
б) 
6 а) 
б) 
7 а) 
б) 
8 а) 
б) 
9 а) 
б) 
10 а) 
б) 
11 а) 
б) 
12 а) 
б) 
13 а) 
б) 
14 а) 
б) 
15 а) 
б) 
16 а) 
б) 
17 а) 
б) 
18 а) 
б) 
19 а) 
б) 
20 а) 
б) 
21 а) 
б) 
22 а) 
б) 
23 а) 
б) 
24 а) 
б) 
25 а) 
б) 
26 а) 
б) 
27 а) 
б) 
28 а) 
б) 
29 а) 
б) 
30 а) 
б) 
Литература:
1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М.: Рольф, 2002.-288с., с ил.
2. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Рольф, 2001.-576с., с ил.