Логарифмические уравнения.
Уравнения, которые содержат переменную под знаком логарифма или в его основании, называются логарифмическими.
Виды логарифмических уравнений и способы решения.
Простейшие логарифмические уравнения.
Простейшими логарифмическими уравнениями называют уравнения вида
где
Простейшие логарифмические уравнения можно решить на основании определения логарифма.
По определению логарифма, с — это показатель степени, в который надо возвести основание a, чтобы получить выражение f(x), стоящее под знаком логарифма, то есть
При решении логарифмических уравнений нужно установить область допустимых значений уравнения либо выполнить проверку найденных корней. Однако для простейших логарифмических уравнений в некоторых случаях это можно не делать.
Под знаком логарифма должно стоять положительное число: f(x)>0. Однако, поскольку
а любая степень положительного числа a является положительным числом:
Поэтому посторонние корни при решении таких уравнений не появятся, и область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма можно не искать.
Если же в основании выражения присутствует переменная, без ОДЗ обойтись не получится.
ОДЗ:
Но и в этом случае, так как
то и
и первое из условий выполняется автоматически. Следовательно, для нахождения ОДЗ достаточно решить систему из двух неравенств:
Пример.
Ответ: 
Уравнения, в которых один логарифм равен другому логарифму, можно считать простейшими в случае, когда основания этих логарифмов равны:
При решении любого логарифмического уравнения следует определить его ОДЗ либо выполнить проверку найденных корней. В уравнениях вида «логарифм равен логарифму» нахождение ОДЗ может быть упрощено.
Под знаком логарифма должно стоять положительное число, следовательно,
ОДЗ:
По свойству логарифмической функции, из того что равны логарифмы по одному основанию
следует, что выражения, стоящие под знаками логарифмов, также равны:
А раз они равны между собой, если одно из выражений положительно, то другое — также положительно. Следовательно, для нахождения области допустимых значений уравнения достаточно выбрать только одно из двух условий (разумеется, выбирают то неравенство, которое проще решить).
Примеры.
ОДЗ:
Так как логарифмы по одинаковому основанию равны, приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов:
Первый корень не входит в ОДЗ.
Ответ:2.
Однородные логарифмические уравнения первого порядка
С помощью свойств логарифмов такое уравнение можно привести к простейшему логарифмическому.
В общем виде решение таких уравнений можно представить, например, так:
ОДЗ:
Если между логарифмами стоит знак «минус», удобнее второе слагаемое перенести в правую часть, чтобы получить уравнение вида «логарифм равен логарифму»:
Пример.
ОДЗ:
Поскольку в левой и правой части уравнения стоят равные логарифмы с равными основаниями, то выражения, стоящие под знаками логарифмов, тоже равны:
Первый корень не входит в ОДЗ.
Ответ: 10.