Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Эффективное ведение народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями пользуются определенного вида таблицами – так называемыми таблицами межотраслевого баланса. Идея таких таблиц была сформулирована в работах советских экономистов, а первая таблица опубликована в ЦСУ в 1926 г. Однако вполне развитая математическая модель межотраслевого баланса, допускающая широкие возможности анализа, появилась позже (1936 г.) в трудах экономиста В. Леонтьева. В данной работе я представлю её основное математическое содержание.

Итак, будем предполагать, что вся производящая сфера народного хозяйства разбита на некоторое число n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт, причем разные отрасли производят разные продукты. Разумеется, такое представление об отрасли является в значительной мере абстракцией, так как в реальной экономике даже на отдельном предприятии производится значительное разнообразие выпускаемой продукции. Однако представление об отрасли в указанном выше смысле (как «чистой» отрасли) все же полезно, так как оно позволяет провести анализ сложившейся технологической структуры народного хозяйства, изучить функционирование народного хозяйства «в первом приближении».

Итак, предполагаем, что имеется n различных отраслей O₁, …, О_n, каждая из которых производит свой продукт. В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Будем вести речь о некотором определенном промежутке времени [Т₀, Т₁](обычно таким промежутком служит плановый год) и введем следующие обозначения:

х_i – общий объем продукции отрасли i за данный промежуток времени – так называемый валовой выпуск отрасли i;

х_ij – объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;

y_i – объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере, - объем конечного потребления.

Этот объем составляет обычно более 75% всей произведенной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), поставки на экспорт.

Указание величины можно свести в табл. 1.1. Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом i = 1, …, n должно выполнять соотношение

х_i = х_i1 + х_i2 + … + х_in + у_i, (1.1)

означающее, что валовой выпуск х_i расходуется на производственное потребление, равное х_i1 + х_i2 + …+ х_in, и непроизводственное, равное у_i. Будем называть (1.1) соотношениями баланса.

Таблица 1.1

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.), или стоимостными; в зависимости от этого различают натуральный и стоимостный межотраслевой балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (если не оговорено противное) стоимостный баланс.

В. Леонтьев рассматривая развитие американской экономики в 30-е годы ХХ века, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно величины _ij = остаются постоянными в течение ряда лет. Это обусловливается примерным постоянством используемой технологии.

В соответствии со сказанным сделаем такое допущение: для выпуска любого объема х_j продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве а_ij х_j, где а_ij – постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение постулирует, как говорится, линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяют и на другие виды издержек (например, на оплату труда), а также на нормативную прибыль.

Итак, согласно гипотезе линейности имеем

х_ij = а_ijх_i (i, j = 1, …, n). (1.2)

Коэффициенты а_ij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).

Подставляя соотношения (1.2) в уравнение баланса (1.1), получаем систему n линейных уравнений относительно переменных х₁, х₂,…, х_n:

х₁ = а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + … а_1n х_n + у₁,

х₂ = а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + … а_2n х_n + у₂,

…………………………………..

х_n = а_n1 х₁ + а_n2 х₂ + … а_nn х_n + у_n,

или, в матричной записи,

х = Ах + у, (1.3)

где а₁₁ а₁₂ … а_1n х ₁ у₁

А = а₂₁ а₂₂ … а_2n, х = х ₂, у = у₂ .

……………. … …

а_n1 а_n2 … а_nn х_n у_n

Вектор х называется вектором валового выпуска, вектор у – вектором конечного потребления, а матрица А – матрицей прямых затрат. Соотношение (1.3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов х и у это соотношение называют также моделью Леонтьева.