Кодзодков А.Х.
Кафедра математического анализа.
Кабардино-Балкарский государственный университет
Рассмотрим линейное нагруженное уравнение третьего порядка:
(1)
в – области 
, ограниченной отрезками 
прямых 
соответственно при 
и характеристиками 
, 
уравнения (1) при ; 
; 
– интервал 
, 
– интервал 
.
Здесь положено, что:
1) 
или 2) 
.
Пусть имеет место случай (1).
Задача 
. Найти функцию 
со следующими свойствами: 1) 
;
2) 
– регулярное решение уравнения (1) при 
;
3) 
удовлетворяет краевым условиям
, 
; (2)
,
, (3)
где 
, 
– аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при y < 0, выходящих из точки 
с характеристиками АС и ВС соответственно; 
, 
, 
.
Опираясь на однозначную разрешимость задачи Коши для уравнения (1) при y < 0 с начальными данными 
, 
, легко видеть, что если существует решение задачи , то оно представимо в виде:
. (4)
Учитывая (4) в краевом условии (3), получаем:
, (5)
где 
.
Следуя [1], обозначим через 
первообразную функции 
. Тогда уравнение (5) примет вид:
, (6)
, (7)
где 
.
Относительно коэффициентов уравнения (6) будем рассматривать аналогичные ситуации, приведенные в работе [1]:
1) 
, т.е. 
;
2) 
,, т.е. 
;
3) , т.е. 
;
4) 
, 
, т.е. 
.
Пусть имеет место случай (1) и функции 
. Решение задачи (6), (7) в этом случае имеет вид:
, (8)
где 
.
Дифференцируя равенство (8) и делая несложные преобразования, получаем:
(9)
где 
,
, 
,
,
, 
.
Переходя к пределу в уравнении (1) при 
, получаем функциональное соотношение между 
и 
, принесенное из области 
, на линию 
:
. (10)
В силу граничных условий (2) и равенства (9) получим нелокальную задачу для нагруженного неоднородного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами:
, (11)
|
|
, (12)
где 
.
В начале положим, что 
, т.е.
, 
, т.е.
.
В зависимости от значений корней характеристического уравнения
, (13)
соответствующего однородному уравнению (11) (
), будем исследовать разрешимость задачи (11), (12).
Введем обозначение 
. Логически возможны три различных случая: 1) S>0, 2) S=0, 3) S<0.
Известно, что [2]: 1) если S>0, то уравнение (13) имеет только один действительный корень, а два остальных корня будут сопряженными чисто комплексными числами; 2) если S=0, то все три корня уравнения (13) действительны, причем два из них равны; 3) если S<0, то все три корня уравнения (13) действительны, причем все они различны.
Пусть S=0, т.е. 
.
Общее решение уравнения (11) в этом случае имеет вид:
, (14)
где 
,
.
Удовлетворяя (14) граничным условиям (12), получим линейную алгебраическую систему трех уравнений относительно 
с определителем:
.
Положим, что 
. Тогда 
находят по формулам:
, (15)
, (16)
, (17)
где 
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Учитывая (15) – (17) в (14), получаем:
,
где 
,
,
,
или
, (18)
где 
.
Если считать функцию 
известной, то (18) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром относительно 
. Обозначив
,
решение уравнения (18) будем искать в виде:
. (19)
После подстановки (19) в (18) имеем выражение:
.
Если 
, то 
определяется по формуле:
. (20)
Учитывая (19), (20) в (18), получаем:
, (21)
где 
,
.
В равенстве (21) учтем значение 
. В результате будем иметь:
, (22)
где 
,
,
,
,
,
.
Перепишем уравнение (22) в виде:
, (23)
где 
.
В силу условий, наложенных на заданные функции 
, можем заключить, что 
, следовательно 
.
Обращая интегральное уравнение Вольтерра второго рода (23), получаем:
|
|
, (24)
где 
– резольвента ядра 
. Заметим, что резольвента обладает такими же свойствами, что и ядро [3].
Заменяя в равенстве (24) функцию 
ее значением, получаем:
, (25)
где 
,
.
Перепишем уравнение (25) в виде:
, (26)
где 
.
Решение уравнения (26) будем искать в виде:
, (27)
где 
.
Поступая аналогично предыдущему случаю, получим
, если 
.
Таким образом, имеем:
|
, (28)
где 
.
Уравнение (28) перепишем в виде:
, (29)
где 
.
Решение уравнения (29) ищем в виде:
, (30)
где 
.
Подберем теперь постоянную 
так, чтобы определенная формулой (30) функция 
была решением интегрального уравнения (29). С этой целью внесем выражение (30) для в левую часть (29). После простых вычислений получаем:
,
откуда
,
где положено, что
.
Таким образом, имеем:
. (31)
Полагая в равенстве 
, находим
,
если 
, т.е.
.
Пусть теперь имеет место случай 2), причем:
.
В этом случае уравнение (6) принимает вид:
, (32)
где 
.
Учитывая условие (7), из (32) получаем соотношение 
, 
. Подставляя это значение в (32), находим
. (33)
Подставляя (33) в (10), получаем нагруженное уравнение:
, (34)
где 
,
,
,
с внутренне-краевыми условиями (12).
Рассмотрим частный случай, когда 
, т.е.
= 
; 
, т.е.
; 
, т.е.
.
Тогда общее решение однородного уравнения
имеет вид [4]:
где 
.
Пусть 
. Методом вариации постоянных находим общее решение неоднородного уравнения (34) в виде:
, (35)
где 
,
.
Удовлетворяя (35) условиям (12), получаем:
,
,
где
,
,
, причем выполняется условие
, т.е. 
.
Равенство (35) перепишем в виде:
, (36)
где 
, 
.
Из (36) при 
, имеем
,
если выполняется условие 
, т.е.
|
|
.
Пусть имеет место случай 3), причем 
, 
. Тогда уравнение (6) принимает вид [1]:
. (37)
Полагая в равенстве (37) 
и, учитывая условия 
, получим:
.
Следовательно, для 
имеем представление
, (38)
где 
.
Если выполняется условие 4) и функции 
, причем , то имеем равенство
. (39)
Полагая в равенстве (39) 
и, учитывая условие 
, находим
.
Таким образом, имеем, что
. (40)
Полагая в равенствах (38), (40) 
, найдем 
, а затем, подставляя их в равенство (10), однозначно найдем неизвестную функцию 
.
Случай 
исследуется аналогично.
После определения функций 
решение задачи 
в области 
задается формулой (4), а в области 
приходим к задаче (1), (2), 
.
Решение этой задачи дается формулой [5]:
, (41)
где 
.
Отсюда, полагая в равенстве (41) 
, получаем систему интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода:
(42)
где 
,
.
В силу свойств функции 
и ядер системы (42), нетрудно убедиться, что система уравнений (42) допускает единственное решение в пространстве 
[3].
Список литературы
Наджафов Х.М. Об одной общей краевой задаче со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Известия КБНЦ РАН. Нальчик, №1(8), 2002.
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.1984.
Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Л.-М., Т.1, 1934.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.
Джураев Т.Б. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979.