Неопределенный интеграл
Поскольку сейчас речь пойдет только о неопределенном интеграле, то для сокращения термин «неопределенный» будем опускать.
Для того чтобы научиться вычислять интегралы (или, как говорят, интегрировать функции), нужно, прежде всего, выучить таблицу интегралов:
Таблица1. Таблица интегралов
1.  .
2.  ( ), u >0.
2a.  (α=0);
2б.  (α=1);
2в.  (α=  ).
3.  
3а. 
4.  
5. 
5а) 
6. 
6а. 
7. 
7а. 
| 8. 
9. 
10. 
10а. 
11. 
11а. 
12. 
13. 
13а. 
|
Кроме того, потребуется умение вычислять производную от заданной функции, а значит, нужно вспомнить правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций:
Таблица 2. Таблица производных и правила дифференцирования:
1. (с)¢ = 0
2. (c×u)¢ = c×u¢
3. (u + v)¢ = u¢ + v¢
4. (u - v)¢ = u¢ - v¢
5. (u× v)¢ = u¢v + uv¢
6. 
6.а. 
| 
(sin и)¢ = cos и × и ¢
(cos u)¢ = – sin и × и ¢
| 
|
А еще нам потребуется умение находить дифференциал функции. Напомним, что дифференциал функции 
находят по формуле 
, т.е. дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал её аргумента. Полезно держать в памяти и следующие известные соотношения:
Таблица 3. Таблица дифференциалов
1.  (b=Const)
2.  ( )
3. 
4. 
5.  (b=Const)
6. 
7. 
8. 
9. 
| 10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
|
Причем использовать эти формулы можно, как читая их слева направо, так и справа налево.
Рассмотрим последовательно три основных приема вычисления интеграла. Первый из них называют методом непосредственного интегрирования. Оноснован на использовании свойств неопределенного интеграла, включает два основных приема: разложение интеграла на алгебраическую сумму более простых и подведение под знак дифференциала, причем эти приемы могут быть использованы как самостоятельно, так и в совокупности.
А) Рассмотрим разложение на алгебраическую сумму – этот прием предполагает использование тождественных преобразований подынтегральной функции и свойств линейности неопределенного интеграла: 
и 
.
Пример 1. Найти интегралы:
а) 
; б) 
;
в) 
г) 
д) 
.
Решение.
а) Преобразуем подынтегральную функцию, разделив почленно числитель на знаменатель:
.
Здесь использовано свойство степеней: 
.
б) Сначала преобразуем числитель дроби, затем разделим почленно числитель на знаменатель:
.
Здесь также использовано свойство степеней: 
.
в) 
.
г) 
.
Здесь использовано свойство: 
, 
.
д) 
.
Здесь использованы формулы 2 и 5 таблицы 1.
Пример 2. Найти интегралы:
а) 
; б) 
;
в) 
г) 
д) 
.
Решение.
а) Преобразуем подынтегральную функцию, используя тригонометрическое тождество 
:
.
Здесь вновь использовано почленное деление числителя на знаменатель и формулы 8 и 9 таблицы 1.
б) Аналогично преобразуем, используя тождество 
:
.
в) Сначала разделим почленно числитель на знаменатель и вынесем за знак интеграла константы, затем используем тригонометрическое тождество 
:
.
г) Применим формулу понижения степени:
,
Получим:
.
д) Используя тригонометрические тождества, преобразуем:
.
.
Б) Рассмотрим прием интегрирования, который называют п одведением под знак дифференциала. В основе этого приема лежит свойство инвариантности неопределенного интеграла:
если 
, то для любой дифференцируемой функции и = и (х) имеет место: 
.
Это свойство позволяет значительно расширить таблицу простейших интегралов, так как в силу этого свойства формулы таблицы 1 справедливы не только для независимой переменной и, но и в случае, когда и – дифференцируемая функция какой-либо другой переменной.
Например, 
, но и 
, и 
, и 
.
Или 
и 
, и 
.
Суть метода заключается в выделении в заданном подынтегральном выражении дифференциала некоторой функции так, чтобы этот выделенный дифференциал вместе с остальным выражением составляли табличную формула относительно этой функции. В случае необходимости при таком преобразовании можно соответствующим образом добавлять константы. Например:
а) 
;
б) 
.
в) 
(в последнем примере записано ln(3 + x 2) вместо ln|3 + x 2|, так как выражение 3 + x 2 всегда положительно).
Пример 3. Найти интегралы: 
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
;
ж) 
; з) 
.
Решение.
а) 
.
Здесь использованы формулы 2а, 5а и 7а таблицы 1, две последние из которых получены как раз путем подведения под знак дифференциала:
,
.
Интегрировать функции вида 
приходится очень часто в рамках вычисления интегралов от более сложных функция. Чтобы каждый раз не повторять описанные выше действия, рекомендуем запомнить соответствующие формулы, приведённые в таблице 1.
б) 
.
Здесь использована формула 3 таблицы 1.
в) Аналогично, учитывая что 
, преобразуем:
.
Здесь использована формула 2в таблицы 1.
г) 
.
д) 
;
е) 
.
ж) 
;
з) 
.
Пример 4. Найти интегралы:
а) 
б) 
в) 
.
Решение.
а) Преобразуем:
.
Здесь так же использована формула 3 таблицы 1.
б) Используем формулу понижения степени 
:
.
Здесь использованы формулы 2а и 7а таблицы 1.
в) 
.
Здесь наряду с формулами 2 и 8 таблицы 1 использованы и формулы таблицы 3: 
, 
.
Пример 5. Найти интегралы:
а) 
; б) 
в) 
; г) 
.
Решение.
а) Произведение 
можно дополнить (см. формулы 4 и 5 таблицы 3) до дифференциала функции 
, где а и b – любые константы, 
. Действительно, 
, откуда 
.
Тогда имеем:
.
б) Используя формулу 6 таблицы 3, имеем 
, а также 
, значит, присутствие в подынтегральном выражении произведения 
означает подсказку: под знак дифференциала нужно внести выражение 
. Поэтому получаем
.
в) Так же как в пункте б), произведение можно дополнить до дифференциала функции 
. Тогда получим:
.
г) Сначала воспользуемся свойствами линейности интеграла:
.
Пример 6. Найти интегралы:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Решение.
а) Учитывая, что 
(формула 9 таблицы 3), преобразуем:
.
б) Используя формулу 12 таблицы 3, получим
в) Учитывая формулу 11 таблицы 3, преобразуем
г) Используя формулу 16 таблицы 3, получим:
.
Пример 7. Найти интегралы:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Решение.
а) Все представленные в этом примере интегралы имеют общую особенность: подынтегральная функция содержит квадратный трехчлен. Поэтому и способ вычисления этих интегралов будет основан на одном и том же преобразовании – выделении полного квадрата в этом квадратном трехчлене.
.
б) 
.
в) 
.
г) 
.
Прием подведения под знак дифференциала является устной реализацией более общего приема вычисления интеграла, называемого методом подстановки или заменой переменной. Действительно, каждый раз, подбирая подходящую формулу таблицы 1 к полученной в результате подведения под знак дифференциала функции, мы мысленно заменяли буквой и функцию, внесенную под знак дифференциала. Поэтому, если интегрирование путем подведения под знак дифференциала не очень получается, можно непосредственно делать замену переменной. Подробнее об этом – в следующем пункте.