Математические модели ЗСУНВГА

Передаточные функции W₂(p), W₃(p), W₄(p), W₅(p), W₆(p), W₇(p), W₈(p), W₉(p) известны по аналогам [2]. Раскроем математические модели этих звеньев.

Передаточная функция выхлопной трубы W₂(p):

y₂(t) = ,

где: ;

c=

где: γ – удельный вес;

L – длина участка;

d – диаметр трубы;

f – площадь сечения трубы;

∆d – перепад давления.

Математическая модель измерительного устройства концентрации CO представлена выражением W₃(p):

y₃(t) =

Для измерения ЗВ, могут быть использованы измерительные преобразователи различного принципа действия и конструкции, имеющие соответствующие значения параметров передаточной функции [2].

Математическая модель передающего устройства, расположенная на автомобиле представлена выражением W₅(p):

y₄(t) =

Математическая модель принимающего устройства представлена выражением W₅(p):

y₅(t) =

Математическая модель устройства, выполняющего обработку и обратную передачу сигналов со стороны ГЛОНАСС, после сравнивающего устройства представлена выражением W₆(p):

y₆(t) =

z(t) = y₅(t) – y^*₅₀(t),

где: y^*(t) – допустимое значение концентрации ЗВ на выходе с измерительного устройства.

Математическая модель приемника со стороны автомобиля W₇(p):

y₇(t) =

Математическая модель управляющего устройства ПИД-регулятор, W₈(p):

u(t)= W₈(p)*y₇(t)

u(t) = (k₇+k₈p+ *)y₇(t)

Математическая модель исполнительного устройства (нагревателя) W₉(p):

u₁(t) =

В качестве нагревателя предлагается нагреватель, встроенный в катализатор системы EMICAT, применяемый в BMW Alphina B1257, AUDI [4].

Построение математической модели катализатора требует рассмотрения реакторов, применяемых в равном случае:

- реакторы с промежуточным отводом (подводом) тепла – многослойные (полочные) аппараты;

- реакторы с непрерывным отводом (подводом) тепла – трубчатые аппараты.

Их схемы показаны на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 - Основные типы каталитических реакторов с неподвижным слоем

Так же, применяются различные конструкции с более сложными способами отвода (подвода) тепла, например, комбинированные схемы.

· Адиабатический реактор – это металлический цилиндр, в нижней части которого находится решетка, на нее насыпается катализатор в виде различного типа гранул (шариков, зёрен неправильной формы, таблеток и т.д.). Стенки цилиндра теплоизолированы

· Многослойный реактор­ - это реактор с несколькими адиабатическими слоями катализатора и промежуточным отводом тепла между ними. Отвод тепла может осуществляться с помощью встроенных или выносных теплообменников, или добавлением холодной исходной газовой смеси между слоями

· В трубчатом реакторе отвод тепла осуществляется путем теплообмена реагирующей смеси с теплоносителем через стенку реактора. Катализатор загружается в трубки (их диаметр составляет 2-8 см), а в межтрубном пространстве циркулирует теплоноситель - водяной пар под давлением или расплав солей.

Стоимость таких аппаратов значительно повышается, из-за сложной конструкции.

· Комбинированные реакторы - это трубчатые реакторы, дополненные адиабатическими слоями катализатора. Присутствие адиабатических слоев позволяет осуществить допревращение оставшегося исходного вещества при более высокой температуре по сравнению с трубчатым реактором. Это происходит в силу того, что на выходе из трубчатой части реактора концентрации исходного реагента и тепловыделение уже невысоки. В итоге при меньшей загрузке катализатора достигается высокая производительность.

Степень детализации модели может быть различной, характер детализации зависит от того, на какие вопросы желательно получить ответ. Для многих среднеэкзотермических процессов массо- и теплообмен между газовым потоком и наружной поверхностью зёрен катализатора достаточно интенсивен, температура и концентрации на внешней поверхности зерна катализатора равны температуре и концентрациям в потоке. В этом случае для описания каталитического процесса в реакторе квазигомогенную однофазную модель.

Существуют различные подходы к построению математический моделей процессов, протекающих в катализаторе.

Каталитический процесс в реакторе рассматривается при следующих допущениях:

- продольный перенос массы и тепла не сказывает существенного влияния на градиенты концентраций и температур по высоте слоя;

- коэффициенты диффузии и теплопроводности меняются незначительно по радиусу слоя;

- скорость газового потока и теплоемкость газовой среды постоянна по высоте и сечению реактора.

Математическая модель реактора в этом случае имеет следующий вид:

(2.1)

 

(2.2)

 

Граничные условия:

(2.3)

где: D_r^e - коэффициент диффузии по радиусу трубки;

u - линейная скорость на полное сечение трубки;

ε – прозрачность слоя (доля свободного объема слоя);

M_i -молекулярный вес i-го вещества в j-й реакции;

ρ_g –плотность газовой смеси;

μ_ij- стехиометрический коэффициент i-го вещества d j-й реакции;

p_g - плотность газовой смеси;

N_r - число реакций;

N_k - число ключевых веществ;

W_i - наблюдаемая скорость образования (расходования) i-го вещества, отнесённая к единице объёма зерна (с учетом диффузионного торможения реакции);

x_i, x_i­ⁱⁿ - концентрация i-го вещества в слое и на входе в слой;

λ_r^e - эффективный коэффициент теплопроводности по радиусу трубки;

c_p- теплоемкость газовой смеси;

Q_j - тепловой эффект j-й реакции;

Т, T_w, T_in - температура слоя катализатора, хладоагента и исходной реакционной смеси соответственно;

α_w - коэффициент теплообмена с холодильником;

1 - координата по длине трубки;

r - координата по радиусу трубки;

R - радиус трубки.

В [] приведены уравнения каталитического процесса в другой форме:

, (2.4)

(2.5)

 

(2.6)

 

 

(2.7)

где: T₃, T, T_H, T₀ - температура в зоне катализатора, в свободном объеме слоя, начальная (при t = 0) и входная соответственно;

х, у- степени превращения исходного вещества в свободном объеме слоя и в зоне соответственно;

C₀ - начальная концентрация исходного вещества;

S_уд - удельная наружная поверхность зерен катализатора, отнесенная к единице объема слоя, для слоя, состоящего из шаров S_уд = 3(1 — ε)/R₃;

L – длина слоя катализатора;

λ_ск - эффективный коэффициент продольной теплопроводности в скелете (каркасе) слоя;

ε - пористость слоя катализатора; τ = l/u - условное время контакта;

τ_L = L/u; l - текущая длина слоя.

Переход от уравнений 2.1 - 2.7 к передаточной функции W₁(p) представляется достаточно сложным. В то же время можно построить W₁(p) исходя из кинетики реакций, которые происходят в катализаторе за время его работы. В автомобилях устанавливаются разные катализаторы – как реагирующие вещество может использоваться либо платина, либо золото. Устройства, использующие золото значительно дешевле, но качество и срок службы так же значительно уступают платиновым. В рассматриваемом случае считаем, что в результате прохождения составляющей ВВГ происходит каталитическая реакция следующего вида:

,

, (2.8)

где: O₂ – молекулярный кислород;

CO – монооксид углерода;

CO₂ - диоксид углерода;

Pt – платина (выступающая в роли катализатора);

PtO, PtCO – промежуточные вещества;

K₁­^±, K₂^±, K₃ ^– константы при постоянной температуре скорости реакции.

Введем следующие обозначения:

μ, v – концентрации промежуточных веществ на поверхности платины PtO и PtCO, соответственно.

Напомним, что W₁(p) должна связывать изменение температуры нагревателя катализатора с количеством CO^*, поступающего с его выхода оставшегося после превращения CO в CO₂ на входе катализатора.

Константы скорости K_i^± зависят от температуры по закону Аррениуса и определяются на основании экспериментальных данных. На сегодняшний день значения следующие:
,

. (2.9)

Уравнение Аррениуса имеет вид:

(2.10)

где:K- константа скорости реакции;

А- масштабный множитель;

E – энергия активации;

R- универсальная газовая постоянная = 8, 3 (Дж/моль*К);

T – температура в кельвинах.

Обратим внимание на то, что в системе химических уравнений монооксид углерода и диоксид углерода участвуют в равном молярном соотношении.

Поскольку скорость увеличения количества CO₂ эквивалентна скорости убывания CO, то для ускорения нейтрализации монооксида углерода необходимо увеличить скорость реакции диоксида углерода (в уравнении 3 системы 2.8) образования СО₂).

Скорость изменения концентрации CO₂,будет:

. (2.11)

Следовательно, чем больше константа скорости, тем выше скорость образования CO₂, и выше скорость перехода CO в CO₂

Известно также, что температуру и скорость реакции связывает уравнение Ван-Гоффа:

, (2.12)

где: V₂ – скорость реакции при температуре T₂;

V₁- скорость реакции при температуре T₁;

γ – температурный коэффициент;

γ = k₃.

Если температурный коэффициент равен 2, то скорость реакции будет увеличиваться в 2 раза, при повышении температуры на 10 градусов.

Однако, уравнение 2.12 применимо только для реакций протекающих при температуре 0 – 100 ˚С, что не соответствует работе автомобильного катализатора. Поэтому зависимость К₃ (T˚) принимается по закону Аррениуса:

, (2.13)

где: T˚=F(t), т.е. является функцией времени t.

Все величины в уравнении 2.13кроме Т˚, постоянные и известные. На рисунке 2.5 изображен график зависимости К₃ от Т˚ (график построен в среде Maple 11).

Рисунок 2.4 - Зависимость К₃ от изменения температуры

Таким образом, скорость изменения концентрации в уравнении 2.11 принимает следующий вид:

.

Произведем подстановку полученного коэффициента в уравнении 2.11:

.

C учетом того, что отмечалось ранее, можно считать что с такой скоростью происходит на образование CO₂ и эквивалентное убывание CO. Тогда получаем итоговую зависимость:

.

Введем оператор Лапласа , тогда получим,

.

Сделав необходимые преобразования получим передаточную функцию W₁^СО*(p) (зависимость нейтрализуемой концентрации от температуры) в виде

Концентрации M и V можно усреднить, так как в процессе реакций соотношение концентраций абсорбирующих веществ, стабильно.

Уточнение передаточной функции W₁(p) возможно после идентификации катализатора известными частотными или временными методами.

Результаты моделирования были получены с помощью программного пакета Mathlab Simulink.

Передаточные функции представлены блоками. После сравнивающего устройства стоит ограничитель сигнала - чтоб сигнал меньше нуля дальше не проходил (т.к. при запуске модели до момента, когда сигнал достигнет СУ на выход идет -0.1). За ПИД-регулятором установлено звено запаздывания вносимого экстраполятором нулевого порядка. На рисунках 3.5 - 3.12 приведены все блоки в раскрытом виде. Так же на общую систему были нанесены 8 осциллографов «Scope», для того, чтобы в процессе изучения системы можно было наблюдать переходные процессы в разных точках системы. Также блок «Arrenius» для учета зависимости изменения коэффициента Аррениуса от температуры.

Рисунок 3.4 - Общий вид математической модели в Simulink

 

Рисунок 3.5 - Блок передаточной функции выхлопной трубы W₂(p)

Рисунок 3.6 - Блок передаточной функции измерительного устройства W₃(p)

Рисунок 3.7 - Блок передаточной функции передающего устройства на автомобиле W₄(p)

Рисунок 3.8 - Блок передаточной функции принимающего устройства в центре обработки ГЛОНАСС W₅(p)

Рисунок 3.9 - Блок передаточной функции передающего устройства в центре обработки ГЛОНАСС W₆(p)

Рисунок 3.10 - Блок передаточной функции принимающего устройства на автомобиле W₇(p)

Рисунок 3.11 - Блок передаточной функции исполнительного устройства (нагреватель) W₉(p)

Рисунок 3.12 - Блок передаточной функции катализатора W₁(p)

Библиотека Simulink позволяет не собирать из отдельных элементов блок дискретного ПИД-регулятора, а воспользоваться уже готовым блоком «Discrete PID Controller». Его окно параметров представлено на рисунке 3.13. В этом окне мы имеем возможность менять, необходимые нам, параметры работы ПИД-регулятора:

- пропорциональный коэффициент k₇(P);

- интегрирующий коэффициент k₈(I);

- дифференцирующий коэффициент k₉(D).

Рисунок 3.13 - Окно параметров блока «Discrete PID Controller»; передаточная функция W_s(p)

Введем в заготовленные блоки необходимые данные, они указаны в таблице 3.1. Коэффициенты k₇, k₈ и k₉ (ПИД-регулятор) были получены в результате расчета по аналогии с [1].

Период дискретизации определяется по характеристикам контроллера h=0,00001 (с), остальные параметры приняты по справочной литературе [1].

Так расчет для выхлопной трубы производился, исходя из (объема газовой смеси 2,5 литра за оборот, длины выхлопной трубы составляет 2 м, удельного веса смеси 2,68 кг/нм³), а для катализатора предполагалось что соотношение веществ на поверхности платины практически не меняется, ≈ по 30%, и количество платины 2,1 гр.

Таблица 3.1 – Значения исходных параметров в отношении ед. и сек.

Параметр	Значени	Параметр	Значение
x(t)/xmax	1.0-0.1	k4
А3	0.001454436	T4, c
τ1, c	0.00000131	τ4, c	1-10(3)
T1, c	1.5	k5
k1		T5,, c	1-10
k2	0.8-0.9(0.8)	τ5, c	1-10
T2, c	1-10(3)	k6
τ2, c	1-10(2)	T6, c
k3		τ6, c	1-10(2)
T3, c	1-10(5)	k10	0.91
τ3, c	1-10(7)	T7, c	0.067
		τ7, c	50 c

 

На рисунках 3.14- 3.15 приведены изображения раскрытых блоков, после введения коэффициентов.

Рисунок 3.14 - Блоки передаточных функций W₂(p) – W₅(p) с введенными исходными данными

Рисунок 3.15- Блоки передаточных функций W₆(p) W₇(p) W₉(p) с введенными исходными данными

Моделирование системы проводилось при следующих коэффициентах ПИД-регулятора: k₇ =15, k₈ = 1 и k₉ = 0.15.

После вариации параметров ЗСУНВГА и коэффициентов ПИД-регулятора и анализа полученных результатов, в качестве настроек ПИД-регулятора выбираются коэффициенты приведенные в таблице 3.2.

Таблица 3.2 - Итоговые коэффициенты ПИД-регулятора

Коэффициент	k7(P)	k8(I)	k9(D)
Значение		0,5	0,15