Для расчёта разветвлённых цепей

Линейные разветвлённые электрические цепи

Постоянного тока

 

Законы Кирхгофа

Рассмотрим расчётную схему заданной электрической цепи (рис.2.1). Она имеет три ветви и два узла. В каждой ветви проходит ток определённой силы. Ветвь – это участок цепи, который состоит из последовательно соединённых элементов, включённых между двумя узлами. В свою очередь, узел – это точка, в которой сходятся не менее трёх ветвей.

Цепи, которые подобны цепи, приведенной на рис.2.1, называют разветвлёнными. Разветвлённые электрические цепи рассчитываются разными методами, в основу которых
положены законы, открытые немецким физиком Густавом Кирхгофом в 1845 году.

1-й закон Кирхгофа формулируется так: алгебраическая сумма сил токов в узле равна нулю, т.е.

. (2.1)

Условно принимают, что силы токов, которые входят в узел, берутся со знаком «+», а силы токов, которые выходят из узла, берутся со знаком «–».

Например, для узла а расчётной схемы электрической цепи, приведенной
на рис.2.1, уравнение по 1-му закону Кирхгофа имеет следующий вид:

I ₁ + I ₂ – I ₃ = 0.

 

2-й закон Кирхгофа формулируется так: в замкнутом контуре
электрической цепи ал­гебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме падений напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, т.е.

. (2.2)

Условно принимают, что э.д.с. и силы токов берутся со знаком «+»,
если их направления совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура; если не совпадают – со знаком «–».

Например, для контура a–d–b–c–а (рис.2.1), приняв направление обхода
по часовой стрелке, имеем:

Е ₁ + Е ₂ = R ₁ I ₁ – R ₂ I ₂.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое узел разветвлённой электрической цепи?

2. Что такое ветвь разветвлённой электрической цепи?

3. Приведите пример расчётной схемы разветвлённой цепи.

4. Сформулируйте 1-й закон Кирхгофа.

5. Запишите математически 1-й закон Кирхгофа.

6. Что такое условно положительное направление тока?

7. Когда условно положительное направление тока
является действительным направлением тока?

8. Обозначьте условно положительные направления токов
на приведенной расчётной схеме (пункт 3)
и запишите уравнение по 1-му закону Кирхгофа для одного из узлов.

9. Сформулируйте 2-й закон Кирхгофа.

10. Запишите математически 2-й закон Кирхгофа.

11. Запишите уравнения по 2-му закону Кирхгофа для одного из контуров
приведенной расчётной схемы (пункт 3).

Применение законов Кирхгофа

для расчёта разветвлённых цепей

 

Для решения задач анализа разветвлённых электрических цепей с помощью законов Кирхгофа необходимо составить уравнения электрического равновесия заданной расчётной схемы цепи в следующей последовательности:

1) выбрать произвольно направления токов
во всех ветвях схемы электрической цепи;

2) составить уравнения по 1-му закону Кирхгофа для узлов схемы цепи
(количество анализируемых узлов должно быть на один узел меньше,
чем суммарное количество узлов схемы цепи);

3) выбрать направления обходов всех независимых контуров схемы цепи;

4) составить уравнения по 2-му закону Кирхгофа
для всех независимых контуров схемы цепи;

5) решить полученную систему уравнений.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа на примере расчётной схемы цепи, приведенной на рис.2.2. Схема имеет шесть ветвей (m = 6) и четыре узла (n = 4).

Составляем уравнения

по 1-му закону Кирхгофа

(количество уравнений равно

n – 1 = 3):

для узла 1:

I ₁ + I ₆ – I ₄ = 0;

для узла 2:

I ₂ + I ₄ – I ₅ = 0;

для узла 3:

I ₃ + I ₅ – I ₆ = 0.

 

При составлении уравнений по 2-му закону Кирхгофа необходимо учитывать, что уравнения должны быть взаимно независимыми. Для этого контуры надо выбирать так, чтобы каждый контур (для которого составляется уравнение) невозможно было получить из контуров (для которых уже составлены уравнения) путём удаления из них общих ветвей. Например, контур 0–2–1–3–0 можно получить из контуров 0–1–2–0 и 0–1–3–0 путём удаления из них общей ветви 0–1.

Всего уравнений по 2-му закону Кирхгофа должно быть m – n +1 = 3.

Выбираем независимые контуры 0–1–3–0; 0–1–2–0 и 1–2–3–1. Составляем для них уравнения по 2-му закону Кирхгофа, выбрав направления обходов контуров по часовой стрелке:

для контура 0–1–3–0: R ₁ I ₁ – R ₆ I ₆ – R ₃ I ₃ = Е ₁ – Е ₃;

для контура 0–1–2–0: R ₂ I ₂ – R ₄ I ₄ – R ₁ I ₁ = Е ₂ – Е ₁;

для контура 1–2–3–1: R ₄ I ₄ + R ₅ I ₅ + R ₆ I ₆ = 0.

Таким образом, мы получили шесть уравнений с шестью неизвестными: I ₁, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅ и I ₆. Совместное решение этих уравнений позволяет получить значения сил токов во всех ветвях схемы цепи. Если при решении уравнений сила тока будет иметь отрицательное значение, то это означает, что направление тока на схеме цепи необходимо заменить на противоположное.

Вопросы для самоконтроля

1. Приведите последовательность анализа разветвлённой электрической цепи
с помощью законов Кирхгофа.

2. Сколько независимых уравнений по 1-му закону Кирхгофа можно записать
для расчётной схемы разветвлённой электрической цепи?

3. Сколько независимых уравнений по 2-му закону Кирхгофа можно записать
для расчётной схемы разветвлённой электрической цепи?