ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

При проведении испытаний образцов бетона на прочность после пропарки получены следующие результаты:

 

156,2	195,9		187,3	161,9		185,1	200,7
195,9	187,3	185,1		195,9		161,9	185,1
		156,2		195,9		185,1	161,9
200,7	185,1	195,9	185,1		161,9	185,1
187,3	156,2	187,3		161,9	185,1	200,7	156,2
161,9		185,1	187,3		187,3	185,1	156,2
	200,7	185,1	156,2		187,3		185,1
	178,3	161,9	195,9		187,3	185,1	187,3
200,7		185,1	187,3	195,9	161,9	156,2	185,1
185,1		185,1	195,9	161,6	185,1		161,9
187,3	195,9	185,1	187,3		161,9	185,1	187,3
	187,3		185,1	195,9	200,7		161,9
185,1	195,9	161,9

 

 

ОТСОРТИРОВАННЫЕ ДАННЫЕ
	156,2	156,2	156,2	156,2	156,2	156,2	156,2
161,9	161,6
161,9	161,9	161,9	161,9	161,9	161,9	161,9	161,9
					161,9	161,9	161,9
185,1	185,1	185,1		178,3
185,1	185,1	185,1	185,1	185,1	185,1	185,1	185,1
185,1	185,1	185,1	185,1	185,1	185,1	185,1	185,1
185,1	185,1	185,1	187,3	187,3	187,3	187,3	187,3
187,3	187,3	187,3	187,3	187,3	187,3	187,3	187,3
187,3	195,9	195,9	195,9	195,9	195,9	195,9	195,9
200,7	200,7	200,7	200,7	195,9	195,9	195,9	195,9
200,7	200,7

 

Определить закон распределения случайной величины Х-прочности бетона после пропарки.

 

ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНОГО ВАРИАЦИОННОГО РЯДА

 

Что бы выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины, в нашем примере-прочности бетона, нужно построить эмпирическую кривую. Для этого легче всего воспользоваться гистограммой.

Вычислим возможную длину интервала h по формуле:

 

 

n=100

тогда

 

Пусть h=7, тогда k -количество интервалов:

 

 

Найдем -левый конец первого интервала. Он берется таким, чтобы лежало внутри первого интервала:

А уже

 

Начало второго интервала: и т.д.

 

Количество интервалов получается так:

 

Теперь расположим статистические данные по интервалам, а в каждом интервале укажем частоту:

 

(153;160)
(160;167)
(167;174)
(174;181)
(181;188)
(188;195)
(195;202)
(202;209)

 

 

Для проверки сложим:

 

ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

 

Вычисляем относительные частоты: и

 

(153;160)		W1=	0,08	W1/h=	0,011428571
(160;167)		W2=	0,19	W2/h=	0,027142857
(167;174)		W3=	0,16	W3/h=	0,022857143
(174;181)		W4=	0,01	W4/h=	0,001428571
(181;188)		W5=	0,37	W5/h=	0,052857143
(188;195)		W6=		W6/h=
(195;202)		W7=	0,17	W7/h=	0,024285714
(202;209)		W8=	0,02	W8/h=	0,002857143

 

Графическое изображение вариационного ряда позволяет представить в наглядной форме закономерности изменения варианты. Наиболее широко используется гистограмма, полигон и коммулятивная кривая.

Полигон, как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда. Для его построения в прямоугольной системе координат наносят точки с координатами (), где х- варианта, а -ее частота. Но может быть большим числом, поэтому его заменяют относительной частотой :

 

Причем, откладывается на оси ОY, а х по ОХ. Построенные таким образом точки соединяются ломанной кривой. Это ломанная кривая называется полигон.

Теперь, чтобы сделать заключение б эмпирическом законе распределения построим гистограмму. Для этого на оси ОХ откладываем интервалы, а по оси OY - и строятся прямоугольники, основания которых уже составленные интервалы, а высоты - :

 

Эту гистограмму можно считать эмпирической кривой распределения прочности бетона и можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении исследуемой случайной величины-прочности.

 

 

4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫО ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Так как мы предложили, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, плотность которого имеет вид:

 

Этот закон имеет два отклонения: а - математическое ожидание

σ- среднее квадратическое отклонение.

Необходимо по составленному интервальному раду найти оценки этих параметров, а потом с помощью какого-либо критерия проверить правдоподобие нашей гипотезы. С этой целью составим таблицу:

 

Интервал	Частота mi	xi(сер)	xi(сер)- ẋ	(xi(сер)-ẋ)^2	mi(xi(сер)-ẋ)^2
(153;160)		156,5	-22,26	495,51	3964,06
(160;167)		163,5	-15,26	232,87	4424,48
(167;174)		170,5	-8,26	68,23	1091,64
(174;181)		177,5	-1,26	1,59	1,588
(181;188)		184,5	5,74	32,95	1219,06
(188;195)		191,5	12,74	162,31
(195;202)		198,5	19,74	389,67	6624,35
(202;209)		205,5	26,74	715,03	1430,06
Σ				2098,14	18755,24

 

,

Итак, эмпирическая функция распределения имеет плотность распределения:

 

А соответствующий закон распределения F(x):

 

 

 

Построим график, для этого на оси ОХ откладываем - , а по оси OY - :

 

 

А теперь подсчитаем теоретические вероятности попадания случайной величины в интервал по формуле:

 

Где Φ(х)- функция Лапласа:

a=ẋ= 178.76,

σ=14,

α= ,

β= .

 

(xi;xi+1)	P( α<x<β )	Pi
(153;160)	P(153<x<160)	0,0558
(160;167)	P(160<x<167)	0,1100
(167;174)	P(167<x<174)	0,1683
(174;181)	P(174<x<181)	0,1999
(181;188)	P(181<x<188)	0,1844
(188;195)	P(188<x<195)	0,1320
(195;202)	P(195<x<202)	0,0734
(202;209)	P(202<x<209)	0,0317
Σ

 

Теперь проверим, насколько предполагаемый закон распределения исследуемой случайной величины (эмпирической) близко подходит к теоретическому. Для этого нужно составить случайную величину по следующей формуле:

 

Где k =10-число интервалов, -вычисленные теоретические вероятности, n =100.

 

 

Таким образом, , это =70.

 

Сравниваем с теоретическим , при условии, что α=0,05, а r -число степеней свободы равно r= 8-3=5.

 

ВЫВОД:

, мы видим, что , т.е. 70 11,1, следовательно гипотеза о нормальном распределении случайной величины, в нашем случае прочности бетона, ОТВЕРГАЕТСЯ.