Решение алгебраических, нелинейных и трансцендентных уравнений

Пример оформления титульного листа

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Решение алгебраических, нелинейных и трансцендентных уравнений

Пусть задана непрерывная функция f(х) и требуется найти все или некоторые корни уравнения f(x)=0. (1)

Эта задача распадается на несколько задач. Во-первых, надо исследовать количество, характер и расположение корней. Во-вторых, найти приближенные значения корней. В-третьих, выбрать из них интересующие нас корни и вычислить их с требуемой точностью. Первая и вторая задачи решаются аналитическими и графическими методами.

Когда ищутся только действительные корни уравнения, то полезно составить таблицу значений f(x). Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере, один). Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один. Но выявить по таблице корни чётной кратности* сложно.

По таблице можно построить график функции у=f(х) и графически найти точки его пересечения с осью абсцисс. Этот способ более нагляден и дает неплохие приближенные значения корней. Построение графика позволяет выявить даже корни чётной кратности. Иногда удается заменить уравнение (1) эквивалентным ему уравнением j(х)=y(х), в котором функции y₁=j(х) и y₂=y(х) имеют несложные графики. Например, уравнение хsinх—1=0 удобно преобразовать к виду sinx= l/ x. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут корнями исходного уравнения.

Приближенные значения корней уточняют различными итера­ционными методами (половинного деления, простых итераций, касательных, секущих). Рассмотрим на примере метода половинного деления поиск корней с заданной точностью.

Метод половинного деления (дихотомия)

Пусть мы нашли такие точки a и b что f(a)f(b)£0, т. е. на отрезке [a,b] лежит не менее одного корня уравнения. Найдем середину отрезка x_c=(a+b) /2 и вычислим f(x_c). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой f(x_c)f(a или b)£0, т.е. отрезок на котором функция меняет знак. Затем новый отрезок опять делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис. 1).

Если требуется найти корень с точностью e, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2e. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью.

Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций f(x), в том числе не дифференцируемых; при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости невелика: за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое, т. е. уточнение трех цифр тре­бует 10 итераций (т.к. длина отрезка, на котором лежит корень, после 10 итераций равна 1/2¹⁰=1/1024»10^-3). Зато точность ответа гарантируется.

Построим блок-схему алгоритма вычисления корня уравнения вида (1) с помощью метода дихотомии. Пусть на начальном отрезке [a,b] функция меняет знак, т.е. на этом отрезке существует нечётное количество нечётно кратных корней. Пример такой функции изображён на рис. 1. Необходимо найти корень x_т с точностью ε. Будем считать x_т точным значением корня, x_ч – значение корня полученное данным методом, тогда задача считается выполненной, если x_чÎ[x_т-ε,x_т+ε].

Дихотомия применяется тогда, когда требуется высокая надежность счета, а скорость сходимости малосущественна.

2.2. Численные методы вычисления определённых интегралов

Метод левых прямоугольников

Эти методы численного интегрирования основываются на геометрическом смысле интеграла. Как известно интеграл есть площадь криволинейной трапеции ограниченной подынтегральной функцией f(x) на отрезке [a,b]. Для вычисления интеграла I отрезок [a,b] разбивают на n отрезков длиной h. На каждом отрезке криволинейную трапецию приближают прямоугольником, так как его площадь можно легко вычислить. Затем суммируют все полученные площади, получая тем самым приближённое значение интеграла. На рис. 2 проиллюстрирован, так называемый, метод левых прямоугольников. Его название объясняется тем, что высота прямоугольника f(x) вычисляется в левой границе отрезка h. Выведем формулу для приближённого вычисления интеграла I.

Как видно из рисунка площадь первого слева прямоугольника S₀=f(x₀)h. Площадь следующего S₁=f(x₁)h. Легко заметить, что площадь i -го прямоугольника S_i=f(x_i)h. Всего таких прямоугольников n, нумерация их ведётся от 0 до n -1. Таким образом, приближённое значение интеграла, полученное этим методом, вычисляется по формуле: