Программа зачета по математике
Направления подготовки:ЭКН, ЭБС
Семестр, 2018/2019 уч.г.
Содержание теоретического материала
1. Определители 2, 3 n-го порядка: определение, свойства и методы вычисления.
2. Матрицы и действия над ними. Формула обратной матрицы.
3. Понятие системы линейных уравнений с n неизвестными. Совместные и несовместные системы. Теорема Крамера.
4. Матричный метод решения системы линейных уравнений.
5. Равносильные СЛУ. Элементарные (равносильные) преобразования СЛУ. Метод Гаусса для решения СЛУ.
6. Ранг матрицы. Критерий совместности систем линейных уравнений.
7. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальный набор решений.
8. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами (сложение и умножение на скаляр). Координаты вектора. Модуль вектора.
9. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
10. Арифметическое n – мерное векторное пространство: определение и свойства. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
11. Базис и ранг системы векторов, базис векторного пространства: определение, способы нахождения, свойства.
12. Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.
13. Различные уравнения прямой на плоскости.
14. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой.
15. Уравнения плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве.
16. Функция одного действительного переменного. Задание функций, свойства функций: область определения, множество значений, четность-нечетность, периодичность, монотонность, ограниченность.
17. Элементарные функции: линейная, квадратичная. степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические (
), обратные тригонометрическим. (
). Знать свойства данных функций, уметь строить графики.
18. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Методы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. Замечательные пределы.
19. Односторонние пределы. Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.
20. Асимптоты графика функции.
21. Производная функции в точке. Таблица производных элементарных функций. Правила дифференцирования.
22. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.
23. Правило Лопиталя.
24. Исследование свойств функций с помощью производных. Промежутки монотонности. Точки экстремума. Промежутки выпуклости. Точки перегиба.
25. Предельные величины. Коэффициент эластичности функции.
26. Функции двух действительных переменных. Область определения функции двух переменных. Частные производные.
27. Производная по направлению функции двух действительных переменных. Градиент.
28. Экстремумы функции двух действительных переменных.
На зачете студент должен продемонстрировать знание основных определений, положений, алгоритмов решения типовых задач по указанным темам, а также умение решать задачи следующих видов:
- вычисление определителей 2-го, 3-го, 4-го порядка;
- выполнение операций над матрицами;
- решение систем линейных уравнений изученными методами (формулы Крамера, матричный способ, метод Гаусса);
- выполнение операций над векторами, нахождение длины и координат вектора, вычисление угла между векторами;
- использование различных уравнений прямой на плоскости для задания прямой и определения взаимного расположения прямых,
- вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости; от точки до плоскости;
использование различных уравнений плоскости и прямой в пространстве,
- нахождение области определения функции одного действительного переменного;
- вычисление пределов функции одного действительного переменного;
- вычисление производных функции одного действительного переменного
- исследование функции одного действительного переменного на непрерывность, наличие асимптот, точек экстремума и перегиба;
- определение промежутков монотонности и выпуклости (вверх, вниз) функции;
- построение графика функции одного действительного переменного на основе выполненного исследования;
- использование предельных величин, коэффициента эластичности функции при решении прикладных задач;
- находить область определения функции двух действительных переменных;
- находить частные производные первого и второго порядков для функции двух переменных;
- находить вектор градиента функции двух действительных переменных;
- исследовать функцию двух действительных переменных на экстремум.
Задачи для подготовки к зачету по математике
1. Выполнить операции над матрицами:
2. а) 
; б) 9 
; в) 
.
3. Решить систему по формулам Крамера и в матричной форме СЛУ:
а) 
; б) 
; в) 
.
4. Решить методом Гаусса:
а) 
; б) 
; в) 
.
5. А) Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых 5 x+3y+10=0, x+y-15=0 и через начало координат. Б) Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых 3 x-2y+1=0 и 2x+5y-12=0 перпендикулярно прямой 5x+8y=0.
6. Найти область определения функции; а) 
; б) 
.
7. Вычислить пределы:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
; 9) 
; 10) 
; 11) 
; 12) 
.
8. Найти производные функций: 
; 
; 
; 
.
9. Выручка y(ден.ед.) определяется зависимостью 
(ден.ед), где x- количество проданного товара(тыс.шт.). Найти среднюю и предельную выручку при x=20. При каком значении x средняя и предельная выручка будут равны? Чему они равны в этом случае?
10. Исследовать на монотонность, экстремумы, выпуклость (вверх, вниз) и точки перегиба функцию:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
10. Исследовать на экстремумы функцию
а) 
; б) 
; в) 
.
11. Найти область определения функции и изобразить её на координатной плоскости.
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
12. Сравнить скорость изменения функций 
и 
в точке М (1; 0).