Национальный исследовательский ядерный университет
(МИФИ)
Экзаменационные вопросы по линейной алгебре
для студентов 2-ого семестра
Лектор - Сандаков Е.Б.
1.Понятие ранга матрицы. Теорема о базисном миноре.
2.Теорема об элементарных преобразованиях матрицы. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.
3.Понятие ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы. Критерий равенства нулю определителя.
4.Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения. Теорема Крамера.
5.Метод Гаусса исследования систем линейных уравнений.
6.Критерий совместности систем линейных алгебраических уравнений. (Теорема Кронекера-Капелли).
7.Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Свойства их решений. Критерий наличия ненулевых решений. Фундаментальные системы решений. Общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.
8.Общее решение совместной неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
9.Определение линейного пространства действительного и комплексного. Единственность нулевого и противоположного элементов и их представления. Примеры линейных пространств.
10.Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости. Достаточные условия линейной зависимости.
11.Два определения базиса пространства и их эквивалентность. Размерность пространства. Конечномерные и бесконечномерные пространства. Теорема о связи базиса и размерности линейного пространства.
12.Линейные оболочки системы векторов. Теорема о размерности линейной оболочки.
13.Координаты вектора в данном базисе. Координаты суммы векторов, произведения вектора на число.
14.Матрица перехода от одного базиса линейного пространства к другому. Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому.
15.Определение подпространства линейного пространства. Примеры подпространств. Линейные оболочки системы векторов. Теорема о размерности линейной оболочки.
16.Определение пересечения и суммы подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств.
17.Изоморфизм линейных пространств.
18.Прямая сумма подпространств. Теорема о необходимом и достаточном условии, при котором сумма двух подпространств является прямой. Следствия из этой теоремы.
19.Евклидовы и унитарные пространства. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Линейные нормированные пространства. Неравенство треугольника. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника в различных пространствах.
20.Ортонормированная система. Ортонормированный базис. Существование О.Н.Б. (Теорема Шмидта об ортогонализации).
21.Изоморфизм унитарных пространств.
22.Ортогональные подмножества унитарного пространства. Ортогональное дополнение подмножества. Теорема о разложении унитарного пространства в прямую сумму подпространств. Следствия.
23.Понятие линейного оператора и основные операции над ними. Примеры линейных операторов. Линейное пространство L(х,у).
24.Образ и ядро линейного оператора. Теорема о сумме размерностей образа и ядра оператора. Обратная теорема.
25.Обратный оператор и его свойства. Критерий обратимости линейного оператора.
26.Матрица линейного оператора. Представление линейного оператора в данном базисе при помощи матрицы. Матрица суммы операторов, произведения оператора на число, произведения операторов и обратного оператора. Примеры.
27.Преобразование матрицы оператора при переходе от одного базиса к другому. Определитель линейного оператора.
28.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическое уравнение. Теорема о нахождении собственных векторов линейного оператора. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения и связь между ними.
29.Инвариантное подпространство относительно оператора А. Примеры. Свойства собственных векторов линейного оператора.
30.Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Два критерия диагонализируемости матрицы линейного оператора. Практический способ приведения матрицы к диагональному виду.
31.Линейные формы в линейном пространстве. Сопряжённое пространство, его размерность. Преобразование коэффициентов линейной формы при переходе к новому базису.
32.Билинейные формы в действительном линейном пространстве, их представление через координаты. Разложение билинейной формы на сумму симметричных и кососимметричных составляющих. Матрица билинейной формы.
33.Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса.
34.Квадратичные формы в линейном пространстве. Полярная билинейная форма. Приведение квадратичной формы к диагональному виду методом Лагранжа.
35.Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.(без док-ва)
З6.Закон инерции квадратичных форм.
37.Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра.
38.Полуторалинейные (билинейные) формы. Введение скалярного произведения с помощью полуторалинейной формы.
39.Представление линейной формы в унитарном пространстве.
40.Представление полуторалинейной формы в унитарном пространстве.
41.Понятие сопряжённого оператора и его свойства. Матрица сопряжённого оператора.
42.Понятие нормального оператора и его свойства.
43.Понятие унитарного (ортогонального) оператора и его свойства.
44.Свойства унитарных (ортогональных) матриц.
45.Основная спектральная теорема нормальных операторов.
4б.Связь между нормальными, самосопряжёнными и унитарными операторами.
47.Основная спектральная теорема самосопряжённых операторов.
48.Основная спектральная теорема унитарных операторов.
49.Приведение эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду унитарным преобразованием.
50. Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду.
51. Пучок квадратичных форм. Характеристическое уравнение пучка. Теорема о практическом методе одновременного приведения двух квадратичных форм к каноническому виду (без доказательства).