Условие задачи
 Рис. 4.51. Схема стержня с нагрузками
|
Рассмотрим стержень, показанный на рис. 4.51. Определим максимальные нормальные напряжения в криволинейной части стержня, если 
м, 
м, 
кН, 
кН×м. Стержень имеет прямоугольное поперечное сечение с высотой 
м, отношение 
. Найдем также горизонтальное перемещение левой подвижной опоры.
Решение
 Рис. 4.52. Определение внутренних усилий
|
Прежде всего, построим эпюры внутренних усилий в стержне. Сначала определим опорные реакции обычным путем, составляя три уравнения равновесия. Найденные опорные реакции показаны на рис. 4.52. Для определения внутренних усилий рассечем стержень на трех участках. На прямолинейной части фиксируем сечение координатой х, на криволинейной части – углом 
(см. рис. 4.52). В соответствии с методом сечений находим усилия, рассматривая все силы с одной стороны от сечения:
участок 1: 
;
;
кН;
;
участок 2: 
;
;
;
;
участок 3: 
;
;
;
.
По этим выражениям строим эпюры N, Q и М. В криволинейной части стержня считаем величины усилий, задавая значения 
(или 
) через определенные промежутки (например, через 30°). Внесем результаты вычислений в таблицу (табл. 3).
|
Таблица 3
Отложим значения усилий в криволинейной части стержня в радиальном направлении, соединим ординаты плавными кривыми и получим эпюры N, Q и М (рис. 4.53). Эпюры штрихуем в радиальном направлении. Заметим, что так же, как и в прямолинейных стержнях, в сечении, где Q = 0, на эпюре М имеет место экстремум. Найдем экстремальное значение момента:
,
отсюда 
.
кН×м.
В сечении 
действует так же продольная сила N = – 44,7 кН.
Построим эпюру нормальных напряжений, определив значения напряжений в трех точках (a, b, c на рис. 4.54) опасного сечения по формуле (4.39), добавив в нее напряжения от продольной силы. Так как рассматриваемый криволинейный стержень является стержнем средней кривизны (R / c = R. 2/ h = 4/0,8 = 5), то допустимо искать величину 
по приближенной формуле (4.40)
м4;
 Рис. 4.53. Эпюры внутренних усилий
|
м2;
м. [16]
В точке a координата 
м и напряжение в этой точке
= (– 140 + 1027)10–4 = 0,0887 кН/см2.
Аналогично в точке b 
м и
= – 0,149 кН/см2.
Наконец, в точке с, находящейся в центре тяжести сечения, напряжение
кН/см2.
Эпюра напряжений построена на рис. 4.54.
|
Найдем напряжения в точках а и b по формуле для прямолинейных стержней
и сравним их с напряжениями, вычисленными по формуле для криволинейных стержней.
м3;
кН/м2 = 0,102 кН/см2;
кН/м2 = – 0,130 кН/см2.
Разница между напряжениями, вычисленными по разным формулам, составляет около 15 %. Напомним, что в рассматриваемом стержне отношение 
. Разница между напряжениями, вычисленными по разным формулам, уменьшается с увеличением отношения 
. Для стержней малой кривизны (
) можно вычислять s по теории прямолинейных стержней.
Найдем теперь горизонтальное перемещение левой опоры. Для этого приложим в точке А горизонтальную единичную силу (рис. 4.55), найдем опорные реакции и запишем выражения для продольной силы и изгибающего момента, вызванных этой единичной силой, на каждом участке:
участок 1: ;
; 
;
участок 2: ;
; 
;
участок 3: ;
; 
.
 Рис. 4.55. Стержень под действием единичной силы, соответствующей горизонтальному перемещению точки А
|
При определении перемещений используем формулу (4.42) для прямолинейных стержней. Подставим в нее выражения для продольной силы и изгибающего момента от заданной нагрузки и от единичной силы и, принимая во внимание, что на прямолинейном участке интеграл в рассматриваемом примере равен нулю и 
, получим
.
Используя известные значения определенных интегралов
; 
; 
; 
; 
,
найдем
.
Как легко выяснить, числитель первого слагаемого измеряется в кН×м, а числитель второго – в кН×м3. Найдем жесткости стержня при растяжении и изгибе:
кН;
кН×см2
и сосчитаем горизонтальное перемещение точки А:
= 10–4(0,98 + 73,66) =
= 74,6×10-4см.
Первое слагаемое в сумме показывает вклад продольной силы в перемещение. Видно, что он незначителен.
В заключение найдем горизонтальное перемещение точки А по формуле для криволинейных стержней (4.41). Сосчитаем значение третьего интеграла в (4.41):
= – 251,2 кН×м2.
Таким образом, по формуле для криволинейных стержней
см.
Полученный результат показывает, что влияние кривизны стержня на перемещение меньше 3 % и значительно меньше, чем влияние на напряжения. Поэтому для стержней малой и средней кривизны при определении перемещений можно использовать формулу Максвелла – Мора, относящуюся к прямолинейным стержням и учитывающую влияние на перемещения только изгибающего момента.