Часть 6. Арифметическое векторное пространство
Базисы арифметических пространств. Связь между координатами вектора в различных базисах
Определение. Множество матриц (столбцов) размерности n x 1 с линейными операции над ними называется n - мерным арифметическим векторным пространством размерности n и обозначается символом R 
.
Базисы (1); 
...; 
называются естественными базисами векторных пространств R 
соответственно. Разложение произвольного вектора 
по базису в пространстве 
имеет вид 
, в котором первые сомножители – это действительные числа (координаты вектора), а вторые сомножители – это соответствующие базисные векторы.
Для сокращения записей рассматрим этот вопрос для пространства 
. Пусть 
– координаты вектора в базисе 
и 
– координаты этого же вектора в базисе 
, 
и пусть
= 
, = 
или иначе:
,
где
-
матрица координат векторов «нового» базиса в «старом» базисе (матрица перехода от одного базиса к другому). Тогда
) + 
() = =(
.
Так как координаты вектора в одном и том же базисе определяются однозначно, то
(
.
В матричной форме это имеет вид:
. Т.е. 
.
Отсюда следует, что:
. 
.
Пример. 
в декартовом базисе 
Найти координаты вектора 
в базисе 
Решение.
(
.
Ясно, что не всякие векторы образуют базис в пространстве 
. Выяснить эту возможность помогает следующая теорема.
Теорема 6.1. Множество n векторов образует базис в пространстве тогда и только тогда, когда определитель 
матрицы А, составленной из его координат, не равен нулю.
Доказательство. Пусть векторы
, …, 
образуют базис в пространстве , тогда они образуют линейно независимое множество и поэтому
и, следовательно, 
Если 
, то среди столбцов матрицы А нет линейно зависимых и поэтому векторы 
, 
образуют базис в пространстве .
Теорема доказана.
Пример. Доказать, что векторы
= 
, 
= 
, 
= 
образуют базис и найти координаты вектора 
= 
в этом базисе.
Решение. Так как определитель
= 
= 0 + 0 +4 -0 -1 -6 =-3 
,
то векторы , , образуют базис в пространстве 
. Для нахождения координат вектора решаем уравнение = k + m + n , которое равносильно системе уравнений
Так как определитель этой системы отличен от нуля, то применяем для ее решения формулы Крамера.
= -3, 
= -3, 
= 0,
.
Следовательно,
= + + 0
и (1; 1; 0) – координаты вектора в базисе { , , }.
Подпространства и линейные оболочки
Определение. Пусть S – некоторое подмножество векторного пространства . Если S является векторным пространством с теми же линейными операциями, что и в , то S называется векторным подпространством пространства .
Нуль – вектор всегда является подпространством в . Размерность k подпространства меньше или равна размерности . Так что S = 
, где 
Для получения подпространства размерности k достаточно взять множество любых k линейно независимых векторов из и составить всевозможные линейные комбинации из них. Полученное таким образом подпространство называется линейной оболочкой этого множества векторов. Линейная оболочка одного вектора совпадает с пространством 
; линейная оболочка двух линейно независимых векторов совпадает с пространством
и т.д.
Определение. Суммой двух подпространств S 
и S 
из пространства называется множество всех векторов вида 
где 
.
Теорема 6. 2. Сумма 
подпространств 
является подпространством.
Доказательство. Пусть
.
Тогда
потому что
.
Далее, пусть 
- любое число. Тогда
,
так как 
.
Теорема доказана.
Примеры.
1. Если 
– подпространства, представляющие собой две различные прямые, проходящие через начало координат трех мерной декартовой системы координат, то 
- это плоскость, содержащая эти прямые.
2. Если – подпространства, представляющие собой две различные плоскости, проходящие через начало координат трех мерной декартовой системы координат, то - все трех мерное пространство.
Определение. Пересечением двух подпространств S1 и S2 из пространства 
называется множество всех векторов, принадлежащихS и S , пишут 
.
Теорема 6.3. Сумма и пересечение подпространств из являются подпространствами относительно тех же линейных операций, что и в .
Доказательство этой теоремы очевидно и предоставляется читателю.
Определение. Сумма подпространств называется прямой суммой, если 
- пустое множество, т.е. содержит только нуль-вектор. В этом случае пишут 
.