Cвойства решений однородной системы уравнений

Метод Жордана-Гаусса

Алгоритм метода:

1) выбирают в системе уравнений одно уравнение и называют его ведущим;

2) в этом уравнении выбирают одну неизвестную, коэффициент у которой отличен от нуля, и называют ее ведущей;

3) подбирают числовые множители для каждого из уравнений с таким расчетом, чтобы после сложения ведущего уравнения с каждым из других уравнений системы в них «пропала» ведущая неизвестная;

4) выбирают другое уравнение и другую неизвестную системы в качестве ведущих и выполняют пункт 3.

Осуществляя такие действия необходимое количество раз, приходят к системе, в которой в каждом уравнении содержится точно по одной неизвестной, если система имеет единственное решение. Если система имеет "лишние" неизвестные, то их переносят в правую сторону уравнений и через них выражают остальные неизвестные. Если система противоречива, то противоречие становится очевидным на каком-то шаге применения алгоритма.

Пример. Решить систему уравнений:

Решение. Первое уравнение и неизвестную х₁ считаем ведущими. Умножая первое уравнение на (-3) и на (-2) и последовательно складывая его со вторым и третьим уравнениями, приходим к системе:

Выбираем третье уравнение и неизвестную х₂ в качестве ведущих. Умножая третье уравнение на (-2) и на (7) и складывая его последовательно с первым и вторым уравнениями, получим систему:

Второе уравнение сократим на 32. Получим систему:

Выбираем в качестве ведущих второе уравнение и неизвестную х . Умножаем второе уравнение на 9 и складываем с первым уравнением. Умножаем второе уравнение на (-4) и складываем с третьим уравнением. Получим систему:

Таким образом, неизвестные системы найдены.

Вычисление коэффициентов при решении системы уравнений методом Жордана-Гаусса с помощью правила прямоугольника

Пусть: a – коэффициент при разрешающей неизвестной; b – коэффициент при другой неизвестной в разрешающем уравнении, или свободный коэффициент этого уравнения; с, d – соответствующие им коэффициенты в другом уравнении системы. Тогда на каждом шаге преобразования системы методом Жордана–Гаусса можно вычислять коэффициенты, используя следующее правило:

в последующей системе коэффициенты a, b сохраняются, коэффициент c переходит в ноль, коэффициент d переходит в (ad – bc).

Так как система уравнений однозначно определяется матрицей ее коэффициентов, то вместо преобразования уравнений можно делать соответствующие преобразования матриц ее коэффициентов.

Пример. Решить систему уравнений:

Решение.

– --

– –

– .

Таким образом,

Метод обратной матрицы

Если система имеет вид: АХ = В, где А квадратная матрица с ненулевым определителем, то Х = А^-1В. Таким образом, чтобы найти матрицу неизвестных системы уравнений, надо найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу свободных коэффициентов системы.

Пример.

Решить систему уравнений

Решение.

А= , ,

Таким образом: x₁ = 2, x₂ = 1, x₃ = 2.

Однородные системы

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если все ее свободные коэффициенты равны нулю.

Однородная система имеет вид:

Ясно, что любая однородная система совместна, так как она имеет по крайней мере нулевое решение (0; 0; 0;…,0). Ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, так как последняя содержит дополнительный столбец, состоящий из нулей., который не увеличивает ранга матрицы системы. Если количество уравнений системы совпадает с рангом матрицы системы и количеством неизвестных (r = m = n), то нулевое решение будет единственным ее решением (это легко видеть из процедуры решения системы методом Крамера). Если r = m < n, то система состоит из линейно независимых уравнений, в которой (n – r) свободных неизвестных (в том смысле, что им можно задавать любые значения), и поэтому она имеет бесконечное множество решений. Если определитель матрицы квадратной системы равен нулю, то она имеет бесчисленное множество решений, потому что в этом случае выполняется неравенство r < n и система будет иметь (n – r) 0 свободных неизвестных.