Античная философия математики

АНТИЧНОСТЬ и СРЕДНИЕ ВЕКА

Сама эпоха античности - математика и философия активно развивались, но эксперимента практически не было. То есть естествознание в современном смысле практически не проводились.

Пожалуй, сразу вспоминается эксперимент с вычислением длины окружности (радиуса) земли (Эратосфен Киренский).
Физики как таковой в античности не было, а то что называли физикой – фактически было философий.
Аристотель вводит теорию 4-ёх причин:
1) Целевая причина – камни катятся вниз так как земная стихия их стремится к центру, а вот искры летят вверх потому что у огненной стихии цель – двигаться на переферию
Короче что-то в этом духе.

Мыслители того времени решали практические задачи (Архимед например руководил «инженерной группой»)

Первый философ – считается Фалес Милетский, известна даже теорема, которую приписывают ему.
Он официально стал первым ставить проблему типа «что есть основа всего сущего?» Так вот Фалес считал, что это вода.

До античности математика была в виде прикладной дисциплины – и в Египте и у финикийцев – использовали геометрию при строительстве, в частности. Можно сказать,что первая математика как наука появляется тогда же, когда и первая античная философия, или как считают просто «первая философия».

Через 100 лет после Фалесса жил Пифагор, он попытался официально соединить философию с математикой. Было учение о 4-ех стихиях – воздух, вода, земля и огонь. Философы спорили что первооснова. Эмпидокл считал, что они все существуют изначально, другие выделяли как первооснову какую-то один из стихий.

Теорема Фалесса
Сегодня считается, что теорема Фалесса была доказана им (вроде бы) – теорема о том, что если треугольник, который опирается на окружность – одна из его сторон диаметр, то противоположный угол – прямой) – это 7-ой век до нашей эры. С другой стороны в русскоязычной литературе теоремой Фалеса называют такую:

Если прямые, пересекающие две другие прямые(параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

Через 100 лет Пифагор создал что-то вроде секты, где основой всего провозгласил – числа. То есть учение о том, что в основе всего сущего лежат числа. В реальности они конечно говорили о натуральных числах. Якобы человека из них, который открыл рациональные числа даже убили (молва говорит, что утопили) – потому что такой концепт ломал их мировоззрение. 10-ку они считали весьма важным числом ибо 10=1+2+3+4

.

10 антиномий:

• мужское женское,
• доброе –злое
• и т.д. – всего 10.

То есть в мире все существует парами – и 2-ку играет важную роль. Так думал Пифагор и его сторонники.

Большинство из Пифагорийцев были математиком. Где-то в то же время через пропорции доказали теорему Пифагора – сумма квадрата построенного на гипотенузе равна сумме квадратов построенных на катетах.

Сократ умер в 399. Платон (427-347). Эллинизм же начнётся в 323 году до нашей эры.

Сократ известен тем, что занимался гуманитарными проблемами – проблемами человека.

А вот Платон нас весьма интересует. Будучи основателем Объективного идеализма он считал, что есть некая настоящая реальность + есть материя. А наш мир есть соединение этой реальности и этой материи. Материя – не сильно хорошая вещь. И все вещи, что мы видим – лишь отражение высших идей – их неточные копии.

Идеи Платона - это объединение идеального и абстрактного, абстрактное – это то что неконкретное, а идеальное – это что не материальное.

Число 2 - оно абстрактно. Допустим что существуют мысли. Так вот мысль – она идеальна.

Чувство боли - оно идеально, но почему оно не абстрактно?

Можно говорить о боли вообще – это когда мы говорим о чем-то абстрактном.
Идеальное – это более конкретно, чем абстрактное.

Обычно абстрактное определяют так:

• 1) Он точно не находится в пространстве. У него нет координат
• 2) На него нельзя воздействовать, он не может воздействовать – казуально энертен. Вне цепочки причинно следственных –связей.

Нельзя воздействовать на число 2.
Боль же обычно что-то находится - она может быть усилена или уменьшена. То есть разница с двойкой заметна.

У Платона же такого разделения нет. В конце жизни Платон приходит к идее «Единого» - что оценивают как влияние пифагоризма.

Почему он смешивает идеальное и абстрактное – Платон не различал эти тонкости, его же называют идеалистом, хотя в этих терминах он очень похож а Абстрокциониста.

Можно не верить в двойку вообще, но верить в боль – тогда вы идеалист, а можно быть материалистом – верить что существует объективная математика, но считать боль лишь продуктом нервной системы, который в реальности не существует.

В реальности творчество Платона походе на идеи Пифагорийцев (кстати почему?).
В диалоге «Тимей» Платон описывает правильные многогранники. Так он добавил эфир – как 5-ю стихию. – просто для идеальности =)

К тому времени было доказано, что правильных многогранников только 5. Евклид воспроизводит это доказательство в своих началах.

АРИСТОТЕЛЬ

Аристотель – в диапазоне античности является противоположностью Платона. По меркам античности он был прямо естественником.

Он даже изучал как устроено сердце животных. Аристотель считал, что земля имеет форму шара. Но экспериментов в современном смысле у него всё же не было.
Он считал, что не существует абстрактных объектов в смысле Платона, но при этом он признает, что существует форма, а сам объект - есть единство формы и материи. Например – глина и статуя.

Аристотель становится более номиналистическим философов. Он предлагает теорию о том, что математика рождается у нас в уме и не является объективно существующей вне нас. Его любят материалисты.

Аристотель называется логиком (свод работ «Органон»). Аристотелевская логика – там он рассматривает довольно частные примеры, но в отличии от Аристотелевской физики, Аристотелевская логика в каком-то смысле актуальна до сих пор.

Готлоб Фреге же основатель современной логики – придумал предикаты, типа:

 

∀ x (Sx → Px)

Развитие современной логики идёт со времен конца 19 века.
Аристотель же записывает свою логику так:

 

Все S есть P

Аристотель – это 4-ый век до н.э.

В эпоху же эллинизма – математики и философы – это разные люди.

В поздней античности появляется геометрия Евклида с его постулатами. В античности неособо интересовались принципами доказательств (предмет логики), этими вещами люди занялись только в 19 веке.

Что ещё могут спросить про античность.

Был такой человек Зенон (перва яполоивна 5-ого века, старший современник Сократа). Ученик Праменида. Праменид развил странную теорию что Бытие есть, а небытия нет, а потому, думал Зенон, нет и движения.

Ведь дли движения нужно небытие – ведь движение это что-то такое когда что-то есть, а потом бац и этого нет – короче нестабильность. В наши дни это интересно тем. Что там возникают бесконечно малые величины, и показано что это не простые для понимания сущности.
Как решить парадоксы? Ввести мгновенную скорость в точке (производную) - тогда в точке объект уже не покоится, а движется.

Апорий (парадоксов) у Зенона 4-ре всего. (в т.ч. про Ахиллеса и черепаху). То есть, не зная некоторых современных математических понятий, философы не могли объяснить некоторые явления.

СРЕДНИЕ ВЕКА

В средние века добавляется теология. В первой половине средневековья наука активно развивается математика (через 300 лет после появления ислама). Арабы назвали многие созвездия.
Николай Кузанский - жил в 15 веке, был кардиналом в католической церкви, он описывал как соотносятся Бог и мир и приводил некие геометрические аналогии (типа «Бог как шар, его центр везде, а край нигде»).

Далее поговорим о Канте

КАНТ

В 17-ом веке было несколько человек которые занимались всем и сразу – Декарт, Ньютон и Лейбниц. Связано это с тем, что ученых по профессии раньше было и занимались наукой как хобби, а потому и занимались разными вопросами. После 18-ого века уже не найдёшь известных философов-математиков. В 19-ом же веке были математики, которые делали работы по основаниям и логике - но сегодня их считают философами, хотя по специальности они были именно математиками.

Средние века заканчиваются к 14-ому веку, потом эпоха Возрождения, там были математики. Которые были философами и философы, которые не были математиками. НО вот Декарт был и математиком и философом – он признавал и идеальное и материальное.
В 17-ом веке философы типа Спинозы пишут философию в стиле математических текстов. Готфрид Лейбниц опубликовал то, что вроде как раньше открыл Лейбниц. Лейбниц также интересовался логикой. По Лейбницу математика и логика в отличии от физики изучают истины разума, а физика – истина факта.

Необходимые истины (называют сегодня) – то что не может быть иначе, контингентные (случайные) истины – то что может быть иначе.
То есть физика изучает, что есть, но могло бы и не быть, а вот математика изучает то, что если и есть то не могло не быть.

Хотя в математике есть такие высказывания – которые нельзя ни опровергнуть ни доказать (тут правда, есть факт существования разных аксиоматических систем – а это подрывает на корню суждение Лейбница, но об этом мы поговорим позднее)

Итак Иммануил Кант – вторая половина 19 века.
Кант ввел антиномии – прообраз Гегельской диалактики. То есть есть аргументы за и против и мы не можем решить как же на самом деле. Если всё сложное состоит из простого, то ничего простого нет, так оно тоже может из чего-то состоять -- ну и в таком духе.

Кант считал, что мы творим и мир сам, а какой он на самом деле - мы не знаем и не можем узнать. Кант не говорит - откуда он узнал, что эта модель правильна.

Был Юм – он стал во всём сомневаться – типа мы мало чего знаем, может мир не существует – это иллюзия, прошлое может быть не существует – вдруг это ошибка в памяти.

Известный аргумент в истории философии – антологических среди них не отталкивается ни от каких данных о мире – итак - «Бог по определению существо у которого есть все совершенства».
«Бог это то, больше чего помыслить нельзя. Но тогда вы сказали, что Бога нет. Но тогда вы отрицаете понятие Бога, то используете понятие существующего объекта.»

Декарт признавал Бога, и не отрицал его, хотя сомневался во многом. Из существования Бога он уходит от скептицизма.

Кант решил «помочь» Юму – сказать, что человек сам оформляет мир. Хотя и есть некие «вещи в себе» -- но они не познаваемы и невоспринимаемы людьми.

Математика же становится образцом для всех отраслей знания. Кант водит несколько важных понятий

• 1) Априори – не опираясь на опыт – то есть НЕ когда мы что-то видим или помним, когда никакие воспоминания не используются. По Канту не только математика априорна…хотя с этим никто не спорил, в 19-ом веке, правда, были люди которые пытались это опровергнуть – но оба том позднее. НО по Канту вообще всё знание априорно – не только математика.
• 2) Апостериори – когда используется опыт.

Также Кант вводит:

• 1) Аналитическое - когда мы вводим понятие и строим мысль – «если он студент, то он учится» - то есть слыша слово «студент» мы подразумеваем учебу.
• 2) Синтетическое - когда понятие не содержатся одно в другом. Типа «мы сидим в аудитории» - тут по отдельности эти слова не связаны. Сидеть в аудитории нельзя.

Кант соглашается, что физика не даёт нам аналитических истин, но он считает, что и математика не даёт аналитических истин. По
Он приводит пример: 7+5=12

. – Кант считает, что тут вообще 7 и 5 никак сами по себе вроде и не связаны с 12-ю – в их понятиях нет ничего такого чтобы их связывало.

Есть три пары понятий:

• 1) Необходимое – случайное (что)
• 2) Аналитическое –синтетическое (как соотносятся определения)
• 3) Априори – апостериори (как мы это узнали)

Синтетическое априори по Канту – это математика и физика. То есть мы не опирались на знание этого как вещи в себе, но и не вывели из опыта.

Все априори - необходимое, все апостериорное – случайное.

Апостериори – это вообще эмпирически – на уровне повседневной жизни, типа «сколько людей в том коридоре», который сейчас не видно.

По Канту истины математики синтетические и априорные. Они же сопряжены с необходимостью.
Некоторые люди отрицают априорность математики – но сегодня это непопулярно. Но гораздо более спорный вопрос аналитична или математики или синтеттична.

Ещё у Канта большую роль играет интуиция – некое внутренне восприятие. По Канту в математике она играет весьма важную роль. Математика работает с интуитивно представляемыми объектами – числами и геометрическими фигурами (он говорит именно об этих объектах). Логика у Канта тоже представляется некими интуитивными переходами. Математика как бы продуцирует эти аналитические истины.
В реальности есть разница между физикой и математикой, но у Канта эта разница практически нивелируется.