Повторение опытов, случайные величины, законы распределения, числовые характеристики случайных величин
1. Завод изготовляет изделия, каждое из которых должно подвергаться четырем видам испытаний. Первое испытание изделий проходит благополучно с вероятностью 0,9, второе – с вероятностью 0,95, третье – с вероятностью 0,8 и четвертое – с вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что изделие пройдет благополучно
а) – все четыре испытания
б) – ровно три испытания
в) – ровно два испытания
г) – ровно одно испытание
д) – ни одного испытания
е) – хотя бы одно испытание
ж) – не менее двух испытаний
2. Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью r (независимо от других) оказывается дефектным. При осмотре дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью p. Для контроля из продукции завода выбирается n изделий. Найти вероятность следующих событий:
А – ни в одном из изделий не будет обнаружено дефекта
В – среди n изделий ровно в двух будет обнаружен дефект
С – среди n изделий не менее чем в двух будет обнаружен дефект.
3. При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было включено 2k новых лампочек. Каждая электролампочка в течение года перегорает с вероятностью r. Найти вероятность того, что в течение года не менее половины первоначально включенных лампочек придется заменить новыми.
4. Система противовоздушной обороны охраняет территорию от воздушного налета, в котором принимает участие N самолетов. Для поражения каждого из самолетов выделяется два истребителя-перехватчика; каждый истребитель поражает цель независимо от другого с вероятностью p. Найти вероятность того, что во время воздушного налета будет поражено:
А – ровно три самолета
В – не менее двух самолетов.
5. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг. (Задачу решить двумя способами: 1) использую формулу для вероятности биноминального распределения; 2) используя формулу для вероятности для случайной величины распределенной по закону Пуассона)
6. Может ли при каком-либо значении аргумента быть:
1) функция распределения больше единицы
2) плотность распределения больше единицы
3) функция распределения отрицательной
4) плотность распределения отрицательной
7. Дан график плотности распределения f(x) случайной величины X (см. рис.). Как измениться этот график, если а) прибавить к случайной величине 1; б) вычесть из случайной величины 2; в) умножить случайную величину на 2; г) изменить знак величины на обратный?
рисунок к задаче 7
8. Дан график функции распределения F(x) случайной величины X (см. рис.). Как измениться этот график, если а) прибавить к случайной величине 1; б) вычесть из случайной величины 2; в) умножить случайную величину на 2; г) изменить знак случайной величины на обратный?
рисунок к задаче 8
9. К случайной величине X прибавили постоянную, неслучайную величину а. Как от этого изменяться характеристики: а) математическое ожидание; б) дисперсия?
10. Случайную величину X умножили на а. Как от этого изменяться характеристики: а) математическое ожидание; б) дисперсия?
11. Производиться один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие А; вероятность события А равна р. Рассматривается случайная величина X, равная единице, если событие А произошло, и нулю, если не произошло. Построить ряд распределения (таблица или значения и график) случайной величины X и ее функцию распределения (таблица или значения и график), найти ее математическое ожидание и дисперсию.
12. Монета подбрасывается n раз; рассматривается случайная величина X – число выпавших гербов. Построить ряд распределения этой случайной величины (таблица) и найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение (СКО).
13. (найти мат. ожид., дисперсию, СКО. На практ. занятии характеристики не находили) Функция распределения непрерывной случайной величины X заданы выражением со следующими значениями
Найти:
а) коэффициент а
б) построить график функции распределения
в) плотность распределения случайной величины и построить ее график
г) вероятность попадания случайной величины на участок (0,25; 0,5)
д) найти математическое ожидание, дисперсию и СКО
14. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью:
а) найти коэффициент а
б) построить график плотности распределения
в) найти функцию распределения и построить ее график
г) найти вероятность попадания случайной величины на участок (0, π/4)
д) найти математическое ожидание, дисперсию и СКО