Сумма квадратов т независимых нормальных величин со средним 0 и дисперсией 1 имеет хи-квадрат-распределение с т степенями свободы. Это распределение наиболее часто используется при анализе данных.
Формально плотность ям-квадрат -распределения с т степенями свободы имеет вид:
<="" img="" style="padding: 0px; margin: 0px; border: none;">
При отрицательных х плотность обращается в 0.
Основные числовые характеристики хи -квадрат-распределения:
<="" img="" style="padding: 0px; margin: 0px; border: none;">
График плотности приводится на рисунке ниже:
<="" img="" style="padding: 0px; margin: 0px; border: none;">
<="" img="" style="padding: 0px; margin: 0px; border: none;">
Распределение Пуассона
Распределение Пуассона иногда называют распределением редких событий. Примерами переменных, распределенных по закону Пуассона, могут служить: число несчастных случаев, число дефектов в производственном процессе и т. д. Распределение Пуассона определяется формулой:
<="" img="" style="padding: 0px; margin: 0px; border: none;">
Основные характеристики пуассоновской случайной величины:
<="" img="" style="padding: 0px; margin: 0px; border: none;">
Распределение Пуассона связано с показательным распределением и с распределением Бернулли.
Если число событий имеет распределение Пуассона, то интервалы между событиями имеют экспоненциальное или показательное распределение.
График распределения Пуассона:
<="" img="" style="padding: 0px; margin: 0px; border: none;">
Сравните график пуассоновского распределения с параметром 5 с графиком распределения Бернулли приp=q=0,5,n=100.
Вы увидите, что графики очень похожи. В общем случае имеется следующая закономерность (см. например, превосходную книгу: Ширяев А. Н. «Вероятность». Москва: Наука, с. 76): если в испытаниях Бернулли n принимает большие значения, а вероятность успеха/? относительно мала, так что среднее число успехов (произведение и нар) и не мало и не велико, то распределение Бернулли с параметрами n, р можно заменить распределением Пуассона с параметром 
<="" img="" style="padding: 0px; margin: 0px; border: none;"> = np.
Распределение Пуассона широко используется на практике, например, в картах контроля качества как распределение редких событий.
В качестве другого примера рассмотрим следующую задачу, связанную с телефонными линиями и взятую из практики (см.: Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Москва: Мир, 1984, с. 205, атакже Molina E. С. (1935) Probability in engineering, Electrical engineering, 54, p. 423-427; Bell Telephone System Technical Publications Monograph B-854).Эту задачу легко перевести на современный язык, например на язык мобильной связи, что и предлагается сделать заинтересованным читателям.
Задача формулируется следующим образом. Пусть имеется две телефонные станции — А и В.
Телефонная станция А должна обеспечить связь 2 000 абонентов со станцией В. Качество связи должно быть таким, чтобы только 1 вызов из 100 ждал, когда освободится линия.
Спрашивается: сколько нужно провести телефонных линий, чтобы обеспечить заданное качество связи? Очевидно, что глупо создавать 2 000 линий, так как длительное время многие из них будут свободными. Из интуитивных соображений ясно, что, по-видимому, имеется какое-то оптимальное число линий N. Как рассчитать это количество?
Начнем с реалистической модели, которая описывает интенсивность обращения абонента к сети, при этом заметим, что точность модели, конечно, можно проверить, используя стандартные статистические критерии.
Итак, предположим, что каждый абонент использует линию в среднем 2 минуты в час и подключения абонентов независимы (однако, как справедливо замечает Феллер, последнее имеет место, если не происходит некоторых событий, затрагивающих всех абонентов, например, войны или урагана).
Тогда мы имеем 2000 испытаний Бернулли (бросков монеты) или подключений к сети с вероятностью успехаp=2/60=1/30.
Нужно найти такое N, когда вероятность того, что к сети одновременно подключается больше N пользователей, не превосходит 0,01. Эти расчеты легко можно решить в системе STATISTICA.