Этот метод можно считать аналитическим. Он заключается в простом вычислении полного дифференциала оцениваемой функции, и предполагает хорошее владение приемами дифференцирования. Если у нас имеется функция, скажем, трех аргументов y =f(a, b, c), то ее полный дифференциал выглядит так:
dy = ¶(f)/¶a*da + ¶(f)/¶b*db + ¶(f)/¶c*dc (10)
где ¶(f)/¶a, ¶(f)/¶b, ¶(f)/¶c есть частные производные от функции f по ее аргументам a, b, c. Они берутся как обычные производные в предположении, что остальные аргументы в этом время являются константами («заморожены»). Рассмотрим далее формулу (косинуса стороны) и вычислим ее полный дифференциал. Отметим, что слева в формуле стоит не сама переменная s, а ее функция. Поэтому при дифференцировании слева мы это должны учесть.
соs s = соs r * соs t + sin r * sin t * соs S
Так как s есть функция трех аргументов r, t, S, то ее полный дифференциал выглядит так:
d(cos s) = -sin(s)*ds = ¶(cos s)/¶r*dr + ¶(cos s)/¶t*dt + ¶(cos s)/¶S*dS (11)
Здесь¶(cos s)/¶r, ¶(cos s)/¶t, ¶(cos s)/¶S есть частные производные от функции (cos s) по ее аргументам r, t и S. Входящие в выражение (11) дифференциалы таковы:
- дифференциал функции входит в приближенное равенство ds @ Ds, а дифференциалы аргументов точно равны своим приращениям. Во всех случаях расчета погрешностей эти приращения есть абсолютные погрешности функции и аргументов. Тогда из (11) следует:
Ds @ [¶(cos s)/¶r*Dr + ¶(cos s)/¶t*Dt + ¶(cos s)/¶S*DS] / [-sin s] (12)
Сами частные производны выпишем отдельно, чтобы не делать формулу (12) слишком громоздкой:
¶(cos s)/¶r = - sin r * соs t + cos r * sin t * соs S
¶(cos s)/¶t = - соs r * sin t + sin r * cos t * соs S
¶(cos s)/¶S = 0 - sin r * sin t * sin S (13)
В вычислительном плане удобнее отдельно находить частные производные, и лишь затем подставлять их в формулу (12). Формула (12) дает нам фактическую абсолютную погрешность. Для получения ее предельного значения надо взять каждое слагаемое в ней по модулю и затем сложить. Это полезно и с другой точки зрения. Ведь каждое слагаемое дает долю в общей суммарной погрешности, связанной с погрешностью каждого отдельного аргумента. Мы узнаем, какой аргумент в большей степени влияет на погрешность, какой – в меньшей. Конечно, это относится к данной точке вычислений, т.е. набору значений аргументов. При другом их значении вывод о таком влиянии может стать другим.
К НАЧАЛУ
Метод математического эксперимента.
Этот метод связан с повторением вычислительных операций при измененных значениях аргументов. Стратегия изменения аргументов и составляет план вычислительного эксперимента. Естественно, что применение этого метода предполагает использовать вычислительную технику и ваши навыки при работе с нею. Эффективно использовать пакет (табличный процессор) EXCEL из MicroSoft Office.
Рассмотрим применение этого метода для решения задачи Примера 1.Т. Поскольку задача содержала три аргумента, то построим таблицу плана, изменяя каждый аргумент на двух уровнях – увеличивая его и уменьшая на величину предельной абсолютной погрешности этого аргумента. В таблице плана знаком “+” будем обозначать увеличение аргумента, знаком ”-” – уменьшение. Всего в такой таблице будет 9 строк. Дело в том, что возможно именно восемь комбинаций парных знаков у трех аргументов 2n = 23 = 8. Обратим внимание на то, что ячейки заполнены по некоторой системе, чтобы перебрать все возможные варианты. Это особенно важно, когда аргументов более трех – четыре, пять и более. К этим восьми строкам в начале таблицы добавлена еще одна, нулевая строка для аргументов исходного, базового расчета. В этом случае вычисление считается точным, а погрешность – равной нулю.
Тогда таблица плана будет выглядеть так:
Таблица №2. План математического эксперимента.
| № | a | b | c | DX=Xk – X0 |
| a0 | b0 | c0 | ||
| + | + | + | X1 – X0 | |
| + | + | - | X2 – X0 | |
| + | - | + | X3 – X0 | |
| + | - | - | X4 – X0 | |
| - | + | + | X5 – X0 | |
| - | + | - | X6 – X0 | |
| - | - | + | X7 – X0 | |
| - | - | - | X8 – X0 |
Далее вычисляется значение Х девять раз при разных значениях аргументов. Одно вычисление базовое, для нулевой строки, остальные – при измененных соответственно плану значениях аргументов. В правом столбце таблицы подсчитываются погрешности. Это разности между найденным в этой строке значением функции и ее базовым значением, найденным в нулевой строке. Значение погрешности следует получать с округлением до первой значащей цифры. Тем самым, мы получим фактические погрешности функции при отходе от базовой точки по трем направлениям вдоль осей нашей системы координат (a, b, c). Отсюда следует, что для двух строк таблицы, которые отличаются знаками плана, погрешности должны быть примерно равными, но разными по знакам. Действительно, если при перемещении в некотором направлении в пространстве аргументов функция возрастает, то при перемещении в противоположном направлении она убывает примерно с той же скоростью.
Этот важный факт можно использовать как контроль правильности вычислений. Если же есть уверенность в правильности вычислений (например, они производятся с помощью программы), то можно вычислять только верхнюю половину таблицы, так называемую полуреплику плана. Это сокращает вычисления вдвое.
Реализуем все сказанное для данных Примера 1.Т. Заполняем таблицу измененными значениями аргументов и рассчитываем погрешности. Обратим внимание, что нижняя полуреплика плана дает значения приращения функции, отличающиеся только знаком.
Пример 3.МЭ.
| № | a° | b° | c° | x° | Dx° | |||
| 67,605 | 43,957 | 105,442 | 84,062352 | |||||
| + | 67,607 | + | 43,959 | + | 105,444 | 84,065964 | +0,00361 | |
| + | 67,607 | + | 43,959 | - | 105,440 | 84,063476 | +0,00112 | |
| + | 67,607 | - | 43,955 | + | 105,444 | 84,064188 | +0,00184 | |
| + | 67,607 | - | 43,955 | - | 105,440 | 84,061700 | -0,00065 | |
| - | 67,603 | + | 43,959 | + | 105,444 | 84,063004 | +0,00065 | |
| - | 67,603 | + | 43,959 | - | 105,440 | 84,060516 | -0,00184 | |
| - | 67,603 | - | 43,955 | + | 105,444 | 84,061228 | -0,00112 | |
| - | 67,603 | - | 43,955 | - | 105,440 | 84,058740 | -0,00361 |
При заполнении таблицы считаем, что погрешность аргументов в градусах составляет 0.002°. Это соответствует погрешности в 0.1¢, которая есть единица последнего записанного разряда в исходных данных задачи:
0.1¢ = 0.002 ° = 3*10-5(рад)
В таблице специально оставлены колонки, в которых оставлены знаки плана, чтобы следить за правильностью изменения аргументов. Все погрешности располагаются парами, как об этом было сказано. Это строки 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5. Предельная погрешность равна с округлением 0.004° в градусах или 0.2¢ в минутах. Это хорошо согласуется с результатами табличных оценок для этого примера.
Рассчитанная таблица указывает также путь, следуя по которому можно найти численно частные производные функции нескольких аргументов. Изменим на величину погрешности только один аргумент, например, а, и подсчитаем погрешность (приращение) функции DХа. Тогда отношение DХа/Da и будет приближенное значение частной производной нашей функции Х по аргументу а:
¶Х/¶а @ DХа/Da
Эта же идея вычисления производной применяется при пользовании таблиц любой функции: производная находится приближенно как отношение первой разности функции к шагу аргумента.
К НАЧАЛУ