ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА




ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Виды погрешностей:

1. Погрешности модели

2. Погрешности исходных данных

3. Погрешности арифметических операций

 

Абсолютная и относительная погрешности

Введем обозначения. Пусть А - точное значение, а - приближенное значение.

 

Абсолютная погрешность (предельная)

 

Докажем

Относительная погрешность

Докажем

Цифры числа, начиная с первого ненулевого числа, слева называются значащими числа.

Значащую цифру называют верной или верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа меньше половины единицы разряда этой цифры.

Если абсолютная погрешность меньше единицы разряда этой цифры, то эта цифра называется верной в широком смысле.

 

Пример. Найти верные числа.

Обычно верные цифры пишут более крупно, а сомнительные мельче.

Ответ: 9348.

 

Пример. Найти относительную погрешность.

Ответ: .

 


ПОГРЕШНОСТИ ФУНКЦИЙ

 

Обозначим:

Тогда значение функции при точных значениях переменных будет выглядеть так:

 

 

Абсолютная погрешность функции:

Пример.

 

Пример.

 

 

Пример.

Абсолютная погрешность:

 

Вычислим относительную погрешность:

Относительная погрешность произведения равна сумме относительных погрешностей сомножителей.

Посчитаем относительную погрешность суммы и разности:

Вычислим относительную погрешность для степенной функции:

Пример.

Пример.

Пример.

Вычислим верные числа в узком смысле: Проверим 15, 6 45 0,1:2=0,05 < 0,142, значит 6 уже не верно в узком смысле.

15,645 – верны в узком смысле

15,645 – верны в широком смысле

Вычислим общую погрешность, после отбрасывания сомнительных цифр.

0,645+0,142=0,787 < 0,8

 

Пример.

 

 

УПРОЩЕННЫЙ СПОСОБ ВЫДЕЛЕНИЯ ВЕРНЫХ И СОМНИТЕЛЬНЫХ ЦИФР

Правило подсчета цифр

При сложении и вычитании приближенных чисел в результате надо сохранять столько десятичных знаков после запятой, сколько их в приближенном, данном с наименьшим числом десятичных знаков.

 

Пример.

 

В произведении надо сохранить столько значащих цифр, сколько в сомнительном числе их с наименьшим количеством значащих цифр.

 

Пример.

При возведении приближенных чисел в квадрат (куб) в результате надо оставлять столько значащих цифр, сколько их в основании.

 

Пример.

 

Пример.

 

 

 

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

 

Схема Горнера. Приближенное значение многочленов.

Предположим, что x-фиксированное число.

Пример.

Задание. Используя схему Горнера, найти значение многочлена в точке x=0.5.

.

Проведем эту работу в SMathStudio.

 

Формула Тейлора.

 

Пример.

 

Задание. Вычислить значения функций при заданных значениях аргумента методом разложения в ряд Тейлора с точностью до 10-6 . Провести эту работу в SMathStudio.

 

1)

Воспользуемся разложением , где , , i=1,2,3,…

2)

Воспользуемся разложением , где

, , i=1,2,3,…

3)

Воспользуемся разложением , где

, , i=1,2,3,…

И разложением , где

, , i=1,2,3,…

 


ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Пусть нам даны точки на промежутке (a,b) и значения в этих точках Нам надо найти значения функции f(x), которые находятся между заданных значений. Если выполняются следующие условия:

, то такая операция называется интерполяция.

Если же x не принадлежит заданному промежутку, то операция называется экстраполяция.

 

Пример.

Вычислить температуру в промежуточный момент времени.

F(t)=T, t=t0, t1, …, tn

Если t>tn, то эта задача на прогнозирование, т.е. экстраполяции.

 

Пример.

Пусть нам даны две точки и значения в этих точках Тогда интерполирующая функция будет линейной, проходящей через две точки. Чтобы найти эту функцию воспользуемся формулой:

Проверим: Значит, является интерполирующим многочленом первой степени.

 

Пример.

Пусть нам даны три точки и значения в этих точках Тогда интерполирующая функция будет параболой, проходящей через три точки. Чтобы найти эту функцию воспользуемся формулой:

Проверим: Значит, является интерполирующим многочленом второй степени.

 

Пример.

Пусть нам даны n точек и значения в этих точках Тогда интерполирующей функцией, проходящей через n точек, будет:

 

Мы получили интерполяционный многочлен Лагранжа.

 

Задание. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа и построить график, если функция задана:

y(0.115)=8.65729, y(0.215)=8.29329, y(0.315)=7.95829, y(0.415)=7.64893, y(0.515)=7.36235, y(0.615)=7.09613

Вычислить в точке: x=0.35

Провести эту работу в SMathStudio.

 

 


ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

 

Остановимся отдельно на простейшем виде локального аналитического приближения таблиц, которым является линейное интерполирование. Во-первых, во многих случаях его вполне достаточно для вычисления значений табличных функций, особенно математических. Во-вторых, в этом случае можно дать простое правило определения верных значащих цифр приближенного значения функции непосредственно по свойствам исходной таблицы, без вычисления абсолютной погрешности этого значения.

 

Пример.

Пусть нам даны точки и значения в этих точках Тогда мы можем построить график этой функции с помощью сумм отрезков по формуле y=kx+b, образующий ломаную.

 


ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СПЛАЙНА

Интерполяция сплайна отличается тем, что вместо прямых мы используем параболы.

Задание. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью линейной интерполяции и построить график.

Провести эту работу в SMathStudio.

 

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА

 

Пусть нам даны точки на промежутке (a,b) и значения в этих точках Нам надо найти значения функции g(x), которые находятся между заданных значений. Если выполняются следующие условия:

, функция должна быть интерполирующей.

Выберем интервал: В качестве интерполирующий функций удобно брать:

Возьмем частичную сумму ряда Фурье:

В этом выражении количество неопределенных коэффициентов равно 2n+1. Чтобы их найти нам надо 2n+1 условие. Тогда:

Интерполяционный многочлен Лагранжа:

 

Выпишем интерполяционный многочлен Лагранжа первой степени:

 

Задание. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена тригонометрической функции и построить график.

Провести эту работу в SMathStudio.

 

Рассмотрим промежуток .

В этом случае функция будет четная. Точки будут располагаться только справа от нуля. Следовательно, нам понадобится n+1 точка. Тогда многочлен четной тригонометрической функции будет выглядеть:

Задание. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного четного многочлена тригонометрической функции и построить график.

Провести эту работу в SMathStudio.

Рассмотрим промежуток .

Многочлен нечетной тригонометрической функции будет выглядеть:

Задание. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного нечетного многочлена тригонометрической функции и построить график.

Провести эту работу в SMathStudio.

 

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

 

Изначально задаются точки и значения фуекции в этих точках Пусть заданы функции – базисные функции, причем . В простейшем случае может быть одна. Построим из них линейную комбинацию.

 

Для решения этой задачи надо подобрать коэффициенты.

Если бы , то система была бы не доопределена; если , то решение системы зависит от определителей (если определитель не равен нулю, то система имеет решение); если , то количество неизвестных меньше, чем количество уравнений и такая система будет переопределена.

 

Пример.

 

, система не доопределена.

 

, решение системы зависит от определителей.

 

, система переопределена.

 

Для решения переопределенной системы нам надо, чтобы система была линейно зависима. Если то уравнение (1) маловероятно решить. Тогда надо переходить от задачи интерполяции к задаче аппроксимации:

Нам надо устремить эту разность к нулю. Для этого:

Ставится задача минимизировать эту функцию по коэффициентам . Если подставим, то получим:

Эта функция является квадратичной, т.е. функция похожа на параболу или параболоид (если несколько переменных). Если посчитать, то мы можем найти min. Чтобы его найти, надо посчитать частную производную и приравнять ее к нулю.

- коэффициенты при неизвестных,

- свободные члены.

Получили линейную систему:

Этот метод называется методом наименьших квадратов.

 

Рассмотрим несколько примеров.

Даны функции Пусть m=1.

– мы получили среднеарифметическое.

Аппроксимация этой функции.

 

Пример.

По правилу Крамера:

Найдем коэффициенты:

Задание. Найти аппроксимирующую прямую для функции, заданной графиком, построить линейную интерполяцию и сравнить получившиеся функции на графике.

Провести эту работу в SMathStudio.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: