Занятия №6,7
Комбинаторика
Правила суммы и произведения
Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций (соединений), подчиненных тем или иным условиям, можно составить из принадлежащих данному конечному множеству элементов.
При решении задач комбинаторики используют правила суммы и произведения.
Правило суммы. Если некоторый объект 
можно выбрать 
способами, а объект 
можно выбрать 
способами (не такими, как ), то объект «либо , либо » можно выбрать 
способами.
Правило произведения. Если некоторый объект можно выбрать способами, а после каждого такого выбора объект можно выбрать способами (независимо от выбора объекта ), то пару объектов « и » в указанном порядке можно выбрать 
способами.
Пример 1. В магазине бытовой техники имеется 8 видов электрических чайников и 10 видов микроволновых печей. Сколькими способами можно: а) совершить покупку, состоящую из одного электроприбора; б) купить чайник и микроволновую печь?
а) Электрический чайник можно выбрать 8 способами, а микроволновую печь – 10 способами. Число способов купить один электроприбор (то есть выбрать либо чайник, либо микроволновую печь), по правилу суммы, равно 
.
б) Купить чайник и микроволновую печь (то есть выбрать пару объектов) можно, по правилу произведения, 
способами.
Соединения без повторений
Перестановками из различных элементов называются упорядоченные наборы, содержащие данные элементов.
Таким образом, одна перестановка отличается от другой только порядком расположения элементов.
Число перестановок из элементов обозначается символом 
и находится по формуле:
, где 
; 
.
Пример 2. Сколькими способами можно расставить 7 различных книг на полке?
Каждый способ расстановки книг отличается от другого способа лишь порядком расположения книг. Следовательно, число способов равно 
.
Размещениями из различных элементов по 
элементов называются упорядоченные наборы, содержащие элементов из данных .
Одно размещение отличается от другого либо составом элементов, либо порядком их расположения.
Число размещений из элементов по обозначается символом 
и находится по формуле:
(
).
Пример 3. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали между 16 командами, участвующими в соревнованиях?
Очевидно, что все возможные тройки призеров отличаются одна от другой либо составом команд, либо порядком их расположения на первом, втором и третьем местах. Значит, число способов равно
.
Сочетаниями из различных элементов по элементов называются неупорядоченные наборы, содержащие элементов из данных .
Сочетания отличаются друг от друга только составом элементов.
Число сочетаний из элементов по обозначается символом 
и находится по формуле:
().
Пример 4. Сколькими способами можно образовать стартовую пятерку из имеющихся в распоряжении тренера 12 баскетболистов?
Поскольку в данном случае важен лишь состав стартовой пятерки, а порядок ее элементов не имеет значения, то число способов равно
.