Раздел 2. Основы математического анализа

Дифференциальное исчисление.

Теория пределов

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Определение предела функции.

2. Свойства пределов функций.

3. Вычисление пределов функций при наличии неопределенности типа 0/0.

4. Вычисление пределов функций, являющихся неопределенностями типа ¥/¥.

5. Понятие разрыва функции. Типы разрывов.

6. Асимптоты графиков функций, их виды и уравнения.

7. Первый и второй замечательные пределы.

Примеры решения задач

2. Вычислить пределы функций:

3. Составить уравнения асимптот к графику функции:

Решение

а) Графики функций могут иметь асимптоты трех видов: горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Для определения горизонтальной асимптоты следует вычислить предел функции при условии, что х®¥. Если такой предел существует, то график функции имеет горизонтальную асимптоту.

В примере График функции имеет горизонтальную асимптоту с уравнением у=2.

Для определения вертикальной асимптоты следует определить значения, при которых функция не существует, и найти левые и правые пределы функции. Если хотя бы один из пределов бесконечен, то имеется вертикальная асимптота.

В примере функция не существует при х=3.

Так как оба предела бесконечны, то имеется

вертикальная асимптота с уравнением х=3.

Для определения наклонной асимптоты с уравнением y=kx +b находят

Если первый предел не существует или равен 0, то нет наклонной асимптоты.

В примере

Так как k=0, то наклонной асимптоты не имеется.

б)

Выполним последовательно значения пределов:

График функции не имеет горизонтальной асимптоты.

Функция не существует при х=0,5

График функции имеет вертикальную асимптоту

с уравнением х=0,5

Вычислим . График функции имеет наклонную асимптоту.

Наклонная асимптота имеет уравнение у=0,5х + 0,25.

3. Построить график функции, определив тип точек разрыва:

Для заданной функции точками разрыва являются значения аргумента (-2) и 1.

Найдем левые и правые предельные значения функции для этих значений аргумента.

Для построения графика функции с учетом определения типов точек разрыва, потребуется вычисление значений функции в некоторых промежуточных точках

а) x < -2 y=-x²-6x-7 (парабола)

б) -2<x < 1 y=x+3 (прямая)

в) х>1

Если вычислить , то получим уравнение горизонтальной асимптоты у=-1

Дифференциальное исчисление

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Производная функция: определение, свойства, таблица производных.
2. Исследование функции на монотонность.
3. Исследование функции на выпуклость (вогнутость) и точки перегиба.
4. Исследование функции на экстремум.
5. Геометрический и механический смыслы производной.
6. Построение графика функции, используя схему исследования свойств.

Примеры решения задач

1. Найти производные функций:

Решение: При выполнении дифференцирования будем использовать свойства производных, таблицу производных, правило дифференцирования сложных функций.