Изучить по учебной литературе вопросы:
1. Неопределенный интеграл: определение, свойства, таблица интегралов. 
2. Способы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, способ подстановки.
3. Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл.
4. Способы вычисления определенного интеграла.
5. Применение определенного интеграла к решению практических задач: вычисление площадей плоских фигур.
| 1.Основные правила интегрирования |
1. Если  то  где  – произвольная постоянная.
2.  где  – постоянная.
3. 
|
| 2.Таблица основных неопределенных интегралов |
1.  .
2. 
3.  .
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12.  
|
| 3.Непосредственное интегрирование |
Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.
Пример:
  -  +  )dx = 2  dx -   dx -  dx + 3  = 2  -  +3 arcsin x + C
При интегрировании использованы правила 2 и 3, а также табличные формулы 2,4,6,11.
|
| 4.Метод подстановки (замена переменной интегрирования) |
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а)  где  – монотонная, дифференцируемая функция; б)  – новая переменная.
В первом случае формула замены переменной имеет вид:
 . (1)
Во втором случае:
 . (2)
В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой.
Пример 1.
Вычислить интеграл:
Решение.
Сделаем замену переменных t=x+1 и найдем дифференциал от обеих частей, тогда
dt = (x+1)'dx ⇒ dt= dx
Подставляя все в исходный интеграл, получим:
 =  =  +C =  +C,
где C - const. Здесь заключительное действие - это обратная замена переменных.
В данном случае с помощью замены в интеграле удалось свести интеграл к табличному, затем была произведена обратная замена переменных и получен ответ.
|
Пример 2:
(положим t = 2x+3, тогда x= 
t- 
, dx = dt)
= 
=- 
+C= =- 
+C
Пример 3:
dx= (положим t= x2 +25, тогда dt = 2x dx, x dx= 
dt) = 
* dt= 
dt= 
+C = 
+C = 
+C = 
+C
Определенный интеграл.
Если существует определенный интеграл от функции f(x), то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке 
.
Для интегрируемости функции на отрезке 
достаточно, чтобы она была непрерывна на нем или имела конечное число точек конечных разрывов.
Если функция непрерывна на , то от нее существует неопределенный интеграл
и имеет место формула
т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.
Формула
называется формулой Ньютона-Лейбница.
Пример 1:
Необходимо найти определенный интеграл
Имеем:
Таким образом искомый интеграл равен 6.
Пример 2:
Вычислить интеграл: 
Решение:
=(3 
+ 4 +5x) 
= 
+2 
-
- (
+2 
26- 8=18.
Примеры решения задач
1) Найти неопределенные интегралы:
Решение
При решении примеров следует пользоваться свойствами неопределенных интегралов, таблицей интегралов, в которую включена формула интеграла функции линейного аргумента, непосредственным интегрированием и методом подстановки.
б) Выполнив почленное деление в подынтегральной функции, получим:
в)
г) Будем использовать подстановку:
д) Воспользуемся подстановкой:
2) Вычислить определенные интегралы:
Решение
При вычислении определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница
. Получение первообразной функции F(x) будем выполнять или непосредственно или способом подстановки.
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=1 – х2 + 4х и 2х – у – 2 =0
Для определения точек пересечения линий составим уравнение из равенства выражений этих линий: 1 – х2 + 4х = 2х – 2; получим уравнение: х2 – 2х – 3 = 0.
Корнями этого уравнения являются числа: (-1) и 3. Для построения линий найдем
значения функций и составим их таблицы:
| х | -1 | х | -1 | ||||||
| у1 | -4 | у2 | -4 |
Построив фигуру на плоскости, вычислим ее площадь, определив значение интеграла
