Логарифмические и амплитудно-фазовые частотно-фазовые





При практических расчетах АСР удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат (логарифмические частотные характеристики – ЛЧХ). Они характеризуются большей линейностью и на определенных участках изменения частот могут быть заменены прямыми линиями и в целом представлены ломаными линиями. Причем отрезки прямых в большинстве случаев можно построить при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, т.к. умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

За единицу длины по оси частот ЛЧХ принимается декада. Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением и его десятикратным значением. Отрезок, соответствующий одной декаде, равен 1.

Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

, дБ, (86)

ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – белах или децибелах (0,1 бела), сокращенно дБ (рис. 23).

Бел – единица измерения отношения мощности двух сигналов. Если мощность одного сигнала больше мощности другого в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 Б (lg10 = 1).

Т.к. мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды ,то

или

.

При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяется только для оси абсцисс.

Рис. 23. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) — удобное представление частотного отклика линейной стационарной динамической системы в виде графика в комплексных координатах. На таком графике частота выступает в качестве параметра кривой, фаза и амплитуда системы на заданной частоте представляется углом и длиной радиус-вектора каждой точки характеристики. По сути такой график объединяет на одной плоскости амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.

Термин употребляется также в применении к передаточной функции системы, записанной в виде преобразования Фурье выходного сигнала, поделённого на преобразование Фурье входного сигнала.

20) Многоконтурные стационарные линейные системы

Пусть — входной сигнал линейной стационарной системы, а — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

,

где и — преобразования Лапласа для сигналов и соответственно:

,

.

21) Нестационарные линейные системы

Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:

  • Линейность означает, что связь между входом и выходом системы удовлетворяет свойству. Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством: если сигнал на входе системы (воздействие) —

x(t) = A·x1(t) + B·x2(t)

тогда сигнал на выходе системы (реакция) —

y(t) = A·y1(t) + B·y2(t)

для любых постоянных A и B, где yi(t) — выход системы как реакция на входной сигнал (воздействие) xi(t).

  • Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.

Динамика систем, обладающих вышеперечисленными свойствами, может описываться одной простой функцией, к примеру, импульсной переходной функцией. Выход системы может рассчитываться как свёртка входного сигнала с импульсной переходной функцией системы. Этот метод анализа иногда называется анализом во временной области. Сказанное справедливо и для дискретных систем.

Связь между временно́й и частотной областями

Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей передаточной функции, которая является преобразование Лапласа импульсной передаточной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен произведению передаточной функции и соответствующего преобразования входного сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответствует умножение в частотной области.

Для всех ЛСС собственные функции являются комплексными экспонентами. То есть, если вход системы представляет собой комплексный сигнал с некоторой комплексной амплитудой и частотой , то выход будет равен некоторому сигналу с комплексной амплитудой . Отношение будет являться передаточной функцией системы на частоте .

Так как синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряжёнными частотами, если вход системы — синусоида, то выходом системы будет также синусоида, в общем случае с другой амплитудой и фазой, но с той же частотой.

Теория ЛСС хорошо подходит для описания многих систем. Большинство ЛСС гораздо проще анализировать, чем нестационарные и нелинейные системы. Любая система, динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является линейной стационарной системой. Примерами таких систем являются электрические схемы, собранные из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (RLC-цепочки). Груз на пружинке также можно считать ЛСС.

Большая часть общих концепций ЛСС схожа как в случае непрерывных систем, так и в случае дискретных систем.

 

22-23) Устойчивость линейных систем автоматического управления

Рассматривается уравнение

x′ = f(t, x), (НС)

 

f: [t0, +∞) × Rn → Rn, (2)

 

и фиксированное его решение x = φ(t) = gt0t(x0) на [t0, +∞). Предполагается, что выполнены условия обобщенной теоремы Коши — Пикара.

Решение φ называется

устойчивым по Ляпунову, если (см. рис. 2а)

∀ (ε > 0) ∃ (δ > 0) ∀(x0: |x0x0| < δ) ∀ (tt0) [ | gt0t(x0)– gt0t(x0) | < ε ] ;

асимптотически устойчивым, если (см. рис. 2б)

1) оно устойчиво,

2) ∃ (Δ > 0) ∀ (x0: |x0x0| < Δ) [gt0t(x0)– gt0t(x0)→ 0 при t → +∞];

асимптотически устойчивым в целом, если оно асимптотически устойчиво, причем в 2) можно взять Δ = +∞; другими словами, 2) заменяется на

2') ∀ (x0) [gt0t(x0)– gt0t(x0)→ 0 при t →+∞];

экспоненциально устойчивым, если

∃ (Δ1 > 0, M > 0, γ > 0) ∀(x0: |x0x0| < Δ1) ∀ (tt0)

 

[ | gt0t(x0)– gt0t(x0) | Me–γ(tt0) |x0x0| ] ;

экспоненциально устойчивым в целом, если в качестве Δ1 можно взять +∞, т. е.

∃ (M > 0, γ > 0) ∀ (x0) ∀ (tt0) [ | gt0t(x0)– gt0t(x0) | Me–γ(tt0) |x0x0| ] .


Рис. 2.

Очевидно, экспоненциальная устойчивость решения влечет его асимптотическую устойчивость, которая, в свою очередь, влечет устойчивость. Нетрудно проверить также, что обратные импликации не справедливы (для второй это уже показано в п. 4.2.1).

Как видно из определения, устойчивость решения φ(t) = gt0t(x0)— это непрерывность семейства операторов сдвига {gt0t: tt0} в точке x0, равномерная относительно t ∈ [t0, +∞). Из теоремы об условии Липшица для оператора сдвига вытекает, что соответствующее семейство {gt0t: t ∈ [t0, t1]} для любого отрезка [t0, t1] в условиях обобщенной теоремы Коши — Пикара всегда равномерно непрерывно в любой точке x0, т. к.

 

| gt0t(x0)– gt0t(x0) | ( exp tt0 M(s) ds ) ·|x0x0|.

В частности, так будет для уравнения (1) и при a > 0, хотя устойчивости нулевого решения нет.

 

Пусть Φt0(t) — фундаментальная матрица (ЛОС), нормальная в t0. Утверждается, что

 

(а) (ЛС) устойчива ⇔ Φt0(t) ограничена на [t0, +∞);

 

(б) (ЛС) асимптотически устойчива ⇔ Φt0(t) → 0 при t → +∞ ⇔ (ЛС) асимптотически устойчива в целом;

 

(в) (ЛС) экспоненциально устойчива ⇔ (M > 0, γ > 0) ∀ (tt0) [||Φt0(t)|| ≤ Me–γ(tt0)] ⇔ (ЛС) экспоненциально устойчива в целом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть (ЛС) устойчива, т. е. устойчиво нулевое решение (ЛОС). Положив в определении устойчивости ε = 1, найдем δ > 0 такое, что

||x0|| < δ ⇒ ||gt0t(x0)||= ||Φt0(t)x0|| < 1 (tt0).

Следовательно, если ||x|| = 1, то ||δx/2|| < δ и

||Φt0(t)x0|| = δ ||Φt0(t)(δx/2)|| < δ .

 

Поэтому ||Φt0(t)|| < 2/δ, т. е. Φt0(t) ограничена.

Если, наоборот, известно, что

||Φt0(t)|| ≤ H (tt0),

то

||gt0t(x0)||≤ H||x0||,

так что для любого ε > 0 в определении устойчивости нулевого решения (ЛОС) можно взять δ = ε/H.

(б) Пусть (ЛС) асимптотически устойчива. Тогда

||x0|| < Δ ⇒ ||Φt0(t)x0|| → 0 при t → +∞.

В частности для орта ek

||Φt0(t)ek|| = 2||ek|| Δ · || Φt0(t) ( ek· Δ 2||ek|| ) || → 0 при t → +∞

 

(мы рассматриваем произвольную норму в Rn, поэтому, возможно, ||ek|| ≠ 1). Это означает, что все столбцы матрицы Φt0(t) стремятся к нулю при t → +∞; но тогда и сама матрица стремится к нулю.

 

Пусть дано, что Φt0(t) → 0 при t → +∞. Тогда для любого x0 ∈ Rn

 

gt0t(x0)= Φt0(t)x0 → 0 при t → +∞,

т. е. (ЛС) асимптотически устойчива в целом.

Наконец, из асимптотической устойчивости в целом следует асимптотическая устойчивость.

(в) Если (ЛС) экспоненциально устойчива, то существуют Δ1 > 0, M > 0 и γ > 0 такие, что

||x0|| < Δ1 ⇒ ||Φt0(t)x0|| ≤ Me–γ(tt0)||x0|| (tt0).

Поэтому для любого x, удовлетворяющего условию ||x|| = 1, будем иметь:

||Φt0(t)x|| = Δ1 || Φt0(t) ( x· Δ1 ) ||

 

  Δ1 Me–γ(tt0) || x0· Δ1 || = Me–γ(tt0)||x||.

Следовательно,

||Φt0(t)|| ≤ Me–γ(tt0) (tt0).

Наоборот, если выполнено последнее неравенство, то для любого x0

||Φt0(t)x0|| ≤ ||Φt0(t)||·||x0|| ≤ Me–γ(tt0)||x0|| (tt0),

т. е. (ЛС) экспоненциально устойчива в целом.

Остается заметить, что экспоненциальная устойчивость в целом влечет экспоненциальную устойчивость.

24) Непрерывное и дискретное представление процессов управления

25) Программы дискретных управляемых устройств

26) Правила перехода от непрерывной передаточной функции к дискретной

27) Типы систем управления

Система автоматического управления, как правило, состоит из двух основных элементов — объекта управления и управляющего устройства.

По цели управления

Объект управления — изменение состояния объекта в соответствии с заданным законом управления. Такое изменение происходит в результате внешних факторов, например вследствие управляющих или возмущающих воздействий.





Читайте также:
Функции, которые должен выполнять администратор стоматологической клиники: На администратора стоматологического учреждения возлагается серьезная ...
Технические характеристики АП«ОМЕГА»: Дыхательным аппаратом со сжатым воздухом называется изоли­рующий резервуарный аппарат, в котором...
Основные идеи славянофильства: Славянофилы в своей трактовке русской истории исходили из православия как начала...
Опасности нашей повседневной жизни: Опасность — возможность возникновения обстоятельств, при которых...

Рекомендуемые страницы:


Поиск по сайту

©2015-2020 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Обратная связь
0.021 с.