Какие вычислительные приемы сложения и вычитания в пределах 100 и в какой последовательности изучают по различным программам математики начальных классов. Укажите теоретическую основу каждого приема.
Формирование вычислительных навыков - одна из главных задач, которая должна быть решена в ходе обучения детей в начальной школе. Формирование вычислительных умений и навыков - сложный длительный процесс, его эффективность зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и организации вычислительной деятельности.
Проблема формирования у учащихся вычислительных умений и навыков всегда привлекала особое внимание психологов, дидактов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования М.А. Бантовой, Е.С. Дубинчук, Н.Б. Истоминой, С.С. Минаевой, М.И. Моро, Н.Л. Стефановой, А.А. Столяра, Я.Ф. Чекмарева и др.
М.А. Бантова утверждает, что вычислительный прием - ряд последовательных операций, выполнение которых приводит к нахождению результата арифметического действия [3]. Последовательность операций зависит от вычислительной основы.
Случаи (выражения) сложения и вычитания:
1. Однозначных и двузначных чисел без перехода через разряд (25+3 и 25-3)
2. Однозначных и двузначных чисел с переходом через разряд (37+5 и 32-7)
3. Двух двузначных чисел без перехода через разряд (64-21 и 64+21)
4. Двух двузначных чисел с переходом через разряд (28+54 и 62- 36)
Все эти случаи рассматривают по всем программам, но из каждого случая может быть выделен частный и поэтому уроков ознакомления с новыми случаями оказывается гораздо больше.
Теоретической основой всех этих случаев является:
1. Знание разрядного состава двузначных чисел;
2. Знание законов сложения (переместительного и сочетательного) и вывода из них: к единицам удобнее прибавлять (вычитать) единицы, а к десяткам десятки. Этот вывод отражает принцип поразрядного сложения и вычитания чисел в пределах 100;
3. Знание таблиц сложения и вычитания в пределах 10 и 20.
Последовательность изучения вычислительных приёмов в различных программах по математике
В разных учебниках математики предлагают разную последовательность изучения этих случаев.
Программа М. И. Моро
В программепредлагается такая последовательность изучения приемов сложения и вычитания в пределах 100:
1. В начале темы на подготовительном этапе повторяют случаи сложения и вычитания двузначных чисел, которые изучили еще в теме «Нумерация чисел в пределах 100». Их теоретическую основу - знание разрядного состава чисел, соотношения между десятками и единицами, случаи сложения и вычитания в пределах 10. Это такие случае как:
50+30=80 5д+3д=8д
50-30=20 5д-3д=2д
| М2М, ч.1, стр. 57 |
2. Второй прием дан на странице 58– прием сложения двузначного числа и разрядного без перехода через разряд. Это такие случаи:
· 36+2= 30+ 6+ 2= 30+(6+2)=38 – в основе сочетательный закон.
· 36+20= 30+6+20=(30+20)+6=56 – в основе переместительный и сочетательный законы.
М2М, ч.1, стр. 58
На уроке делают вывод: к единицам удобнее прибавлять (вычитать) единицы, а к десяткам десятки.
Этот вывод отражает принцип поразрядного сложения и вычитания чисел в пределах 100.
3. Третий прием дан на странице 59: вычитание из двузначного неразрядного числа разрядного без перехода через разряд:
· 36-2= 30+(6-2)=34
· 36-20 = 30+6-20=(30-20)+6=16
М2М, ч.1, стр. 59
Действия сначала моделируют на палочках, а потом учитель сообщает, что десятки удобнее вычитать из десятков, а единицы из единиц.
4. Четвёртый этап: частный случай прибавления к двузначным однозначных, когда в сумме получается круглое число:
26+4 76+24
20+(6+4)=30 70+6+24=100
Опираемся на 2-ой этап. В учебнике страница 60.
М2М, ч.1, стр. 60
5. Пятый этап: вычитание однозначного числа из круглого. Частный случай
для 3-его этапа. 30-7=23
Мы знаем, что единицы вычитаются из единиц, но в числе 30 отдельных единиц нет (строим модель на палочках). Поэтому берем 1 пучок из 3-х, развязываем его и тогда 7 единиц вычитываем из 10 единиц. Получается 23.
30-7= 20+(10-7)=23
М2М, ч.1, стр. 61
6. Шестой этап на странице 62. Здесь рассмотрен случай вычитания двузначного числа из круглого вида: 60-24.
60-24=60-20-4=40-4=36
Сначала разбираем на палочках, опираясь на случай 30-7. Убираем 2 пучка по 10 палочек из 6, затем еще1 развязываем и убираем 4 палочки из 10.
М2М, ч.1, стр. 62
7. Седьмой этап странице 66- это сложение двузначных и однозначных чисел с переходом через десяток. Используют прием прибавления по частям.
26+7=33
26+(4+3)=33
Опираемся на прием сложения двух однозначных чисел с переходом через разряд.
М2М, ч.1, стр. 66
8. Восьмой этап на странице 67. Изучают вычитание из двузначного числа однозначного с переходом через разряд.
35-7=28
(35-5)-2=28
Опираются на прием вычитания в пределах 20.
М2М, ч.1, стр. 67
9. Девятый этап в учебнике М2М, ч.2, стр. 4. Рассматривают случай сложения двузначного числа и двузначного без перехода через разряд:
45+23=68
(45+20)+3=68
М2М, ч.2, стр. 4
10. Десятый этап в учебнике М2М, ч.2, стр. 5. Прием вычитания из двузначного числа двузначного без перехода через разряд:
57-26=31
(57-20) -6=31
М2М, ч.2, стр. 5
11. Одиннадцатый этап. Далее нужно рассмотреть прием сложения двузначного числа с двузначным с переходом через десяток, но в нынешнем учебнике его вообще нет, следовательно, учитель дает его самостоятельно:
45+28=73
(45+20)+8=73
12. Двенадцатый этап на странице 29: прием вычитания из двузначного числа двузначного с переходом через разряд
52-24=28
(52-20)-4=28
М2М, ч.2, стр. 29
Таким образом, рассмотрены все случаи сложения и вычитания в пределах 100 и учащиеся должны понять:
1. Принцип поразрядного сложения и вычитания.
2. При устных вычислениях сначала прибавляют или вычитают более крупные единицы – десятки, а затем более мелкие – единицы. Это отличает устные приемы сложения и вычитания от письменных.
С каждым из названных приемов работают по плану:
1. повторение теоретической основы данного приема;
2. ознакомления с приемом с помощью наглядных пособий;
3. формирование умения использовать данный прием для вычислений (задания с подробным объяснением и записью);
4. формирование навыка: свернутость, автоматизм, быстрота, обобщенность действий.
Для формирования навыка требуется длительное время. В данной теме результат не заучивается, но выполнять действия ребенок должен быстро, поэтому в течении длительного времени на каждом уроке предлагаются
· либо этап устного счета: устные упражнения и игры,
· либо математические диктанты,
· либо дидактические игры,
· либо работа с карточками и т.д.
Программа Н. Б. Истомина
По программе Н. Б. Истоминой в основе темы лежит прием моделирования, т.е. по каждому случаю составляют графическую модель на треугольниках и кругах, а затем - знаковую модель, т.е. равенство.
Используют вывод: к единицам прибавляем единицы, к десяткам десятки.
По программе Н. Б. Истоминой сначала в 1 классе изучают все случаи без перехода через десяток, а потом во 2 классе вводят все случаи сложения и вычитания в пределах 20 с переходом через десяток и на их основе изучают все остальные случаи с переходом через десяток в пределах 100.
1. Дети сначала повторяют сложение и вычитание десятков. Позже сравнивают случаи вида 4+2 и 40+20.
М2И, ч. 2, стр. 48
М2И, ч. 2, стр. 52
Выполняя упражнение 127, дети сравнивают модели треугольников и кругов. В результате замечают, что они различны количеством единиц.
Работая с моделью, дети учатся увеличивать двузначное число, состоящее из десятков и единиц на разное количество единиц. Наблюдение за изменением цифр.
2. Выполняя упражнения 148, учатсяскладывать двузначное число с однозначным без перехода через разряд. Далее выполняют упражнения для закрепления.
М2И, ч.2, стр. 58
3. Далее учатся вычитать из двузначного числа однозначное без перехода через разряд.
М2И, ч.2, стр. 62
4. Выполняя упражнения на данной странице, учатся сложению двузначного числа с однозначным, в результате которого получается круглое число, и вычитанию из круглого числа однозначного.
Начинают работу с выражений, но если возникают трудности, то переходят к выполнению работ с помощью моделей.
М2И, ч.1, стр. 21
М2И, ч.1, стр. 22
5. Сложение двузначного и однозначного чисел с переходом через разряд.
Дети предлагают подобрать числа, которые можно прибавить к 36, чтобы получить число больше 40, при этом используют графические модели. После подборки вспоминают свойства сложения и порядок действий.
М2И, ч.1, стр. 94
После выполнения задания дети начинают выполнять упражнения на сравнение выражений.
М2И, ч.1, стр. 95
В ходе выполнения упражнений, дети замечают, что на странице 98. Нам встречаются наши герои программы Миша и Маша, которые приводят два варианта сложения, и предлагают детям выбрать удобный. Таким путём герои подводят детей к правилу сложения.
М2И, ч.1, стр. 98
6. Далее учатся вычитать из двузначного числа однозначное с переходом через разряд.
М2И, ч.1, стр. 108
М2И, ч.1, стр. 109
7. Сложение двузначных чисел с переходом через разряд.
Сначала сравнивают выражения, в которых одно число уже представлено в виде суммы разрядных слагаемых. Затем сравнивают столбики выражений и значения их сумм, делают вывод. Пытаются объяснить, как выполнять сложение и выбирают одно из объяснений Маши и Миши. Модели уже не используют.
М2И, ч.2, стр. 12
8. Далее учатся вычитать из двузначного числа двузначное с переходом через разряд.
М2И, ч.2, стр. 20