В случае атома водорода оба поправочных эффекта (зависимость релятивистской массы от скорости и спин-орбитальное взаимодействие) имеют одинаковый порядок малости и, следовательно, должны рассматриваться одновременно.
Для вычисления матричного элемента четвертой степени оператора импульса могут быть использованы волновые функции электрона в атоме водорода, полученные в нерелятивистском приближении (14.15). Входящие в выражение для поправки матричные элементы от оператора потенциальной энергии (14.16) могу быть вычислены в явном виде с использованием аналитических выражений для волновых функций электрона в атоме водорода (14.17). Результирующая поправка к энергии (14.18) оказывается зависящей от главного и орбитального квантовых чисел.
Матричные элементы оператора спин-орбитального взаимодействия на ранее построенных волновых функциях невзаимодействующих орбитального и спинового моментов имеют недиагональные элементы, возникновение которых обусловлено недиагональностью матриц входящих в выражение для них x- и y- проекций операторов орбитального и спинового моментов (14.19). Т.о. состояния с определенными значениями орбитального и спинового моментов электрона из-за спин-орбитального взаимодействия перестают сохраняться во времени.
Для построения сохраняющихся во времени состояний следует с помощью аппарата 3j-символов (14.20) перейти от состояний с определенными орбитальным и спиновым моментами и их проекциями к новым состояниям с определенными суммарным моментом и его z-проекцией. Для таких состояний матрица оператора спин-орбитального взаимодействия оказывается диагональной, в чем легко убедиться, представив входящее в оператор скалярное произведение орбитального и спинового момента через квадраты операторов моментов (14.21). Т.о. на состояниях нового базиса оператор спин-орбитального взаимодействия имеет только диагональные элементы, которые в случае атома водорода вычисляются до конца в аналитическом виде (14.22).
В новом базисе, по существу представляющем линейную комбинацию состояний старого базиса, матрица оператора релятивистской поправки сохраняется диагональной. Т.о. включение в классический гамильтониан обоих поправочных релятивистских слагаемых приводит к тому, что состояния с определенными орбитальным и спиновым моментами перестают сохраняться во времени, а состояние с определенным полным моментом и его z-проекцией оказывается стационарным. В соответствии с общим правилом сложения моментов орбитальный момент может отличаться от полного лишь на ±1/2. Непосредственные вычисления показывают, что в каждом из двух упомянутых случаев для поправки к энергии за счет релятивистских и спиновых эффектов получается одно и тоже выражение (14.33), не зависящее от квантового числа l. Т.о. в случае атома водорода имеет место специфическое вырождение уровней тонкой структуры по орбитальному квантовому числу. Это вырождение снимается более тонким эффектом - лэмбовским сдвигом..
| (14.15) | Волновые функции для нерелятивистского электрона в атоме водорода. |
| (14.16) | Вычисление матричного элемента для поправки к энергии из-за релятивистской зависимости массы от скорости. |
| (14.17) | Матричные элементы от функций оператора потенциальной энергии. |
| (14.18) | Поправка к энергии, обусловленная зависимостью релятивистской массы от скорости. |
| (14.19) | Разложение оператора спин-орбитального взаимодействия по проекциям операторов орбитального и спинового моментов на координатные оси. |
| (14.20) | Переход к состояниям с определенным суммарным моментом и его z-проекцтей. |
| (14.21) | Выражение скалярного произведения операторов орбитального и спинового моментов через квадраты операторов моментов. |
| (14.22) | Явные выражения для диагональных элементов оператора спин-орбитального взаимодействия в атоме водорода. |
| (14.23) | Тонкая структура термов в атоме водорода. |
| () |