Анализ прохождения сигнала через апериодический усилитель

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Выполнил: студент гр. РЭТ-13-к

Есингалиев С.Б.

Проверил:

Абильмажинов Б. М.

Петропавловск 2015г.

задание на КОНТРОЛЬНУЮ работу

Задание 1. Для детерминированного сигнала заданной формы определить (в аналитической, табличной и графической формах):

1.1 Спектральные характеристики (АЧХ и ФЧХ):

а) периодического сигнала (до 5-й гармоники), среднеквадратичную ошибку аппроксимации -

б) одиночного сигнала, верхнюю частоту - Fв (по условию учета (90+0,1N)% энергии сигнала.

1.2 Корреляционные функции:

а) одиночного сигнала

б) периодического сигнала.

1.3 По теореме Котельникова:

а) провести дискретизацию для одиночного (или периодического) сигнала

б) определить интервал дискретизация

в) спектральные характеристики дискретизированного сигнала.

Задание 2. Считая детерминированный сигнал заданной формы информационным сообщением (модулирующим колебанием) определить (в аналитической, табличной и графической формах) при индексе модуляции М= (30+N)%:

2.1 АМ - сигнал во временной области, спектральные характеристики в частотной области, несущую частоту принять из условия

2.2 Корреляционную функцию АМ – сигнала

2.3 Записать только в аналитической форме ЧМ и ФМ – сигналы, качественно проанализировать зависимости соответствующих индексов m, от изменения частоты и амплитуды модулирующих колебаний , .

Задание 3. Провести анализ прохождения сигналов по 1-му и 2-му пунктам задания через линейные цепи – звенья систем передачи информации (в аналитической, табличной и графической формах)

3.1 По 1-му пункту задания через звено первого порядка – апериодичный усилитель.

3.2 По 1-му пункту задания через звено первого порядка – резонансо-избирательный усилитель.

Параметрами усилителей задаваться исходя из условия обеспечения линейного режима.

Задание 4. Для случайного процесса в виде аддитивной смеси сигнала по 2-му пункту задания и гауссовского белого шума со спектральной плотностью соответствующей отношению С/Ш по мощности равной (5+0,1N) провести анализ прохождения сигналов такой аддитивной смеси через линейную цепь – резонансный избирательный усилитель (в аналитической, табличной и графической формах). При этом определить и проанализировать изменения плотностей вероятностей математического ожидания, дисперсии, энергетического спектра и корреляционной функции на входе и выходе усилителя. Параметрами усилителей задаваться исходя из условия обеспечения линейного режима.

СОДЕРЖАНИЕ

1.1 Определение спектров тригонометрического и комплексного ряда Фурье, спектральной плотности сигнала.

1.2 Определение корреляционной функции.

1.3 Определение дискретизации сигнала.

2.1 Определение амплитудно-модулированного колебания.

2.2 Определение корреляционной функции амплитудно-модулированного колебания.

2.3 Определение в аналитической форме фаза – модулированного колебания и частотно – модулированного колебания.

3.1 Анализ прохождения сигнала через апериодический усилитель.

3.2 Анализ прохождения АМ - колебания через ленейно – резонансный усилитель.

4. Анализ прохождение случайного процесса в аддитивной смеси спектральной плотности АМ – колебания и гауссовского белого шума через линейно-резонансный усилитель.

Задание 1.1(а) спектральные характеристики периодического сигнала (до 5-й гармоники), среднеквадратичную ошибку аппроксимации

Дано:

=2 мВ=2*10^-3B

T= 2 мс=2*10^-3с

Рисунок 1. Графическое изображение данного сигнала

Общий вид сигнала

S(t)=S₁(t)+S₂(t) =>

(1.1.1)

Запишем ряд Фурье для периодического сигнала:

(1.1.2)

Коэффициенты ряда Фурье находятся по формулам:

(1.1.3)

(1.1.4)

(1.1.5)

период основной гармоники.

- частота основной гармоники

Рассчитаем :

Определим АЧХ И ФЧХ.

(1.1.6)

где — амплитуда n –й гармоники

(1.1.7)

где — фаза n –й гармоники

Таблица 1.

n	A(n)	Θ(n)

		1.362
		1.571
		1.5
		-1.571
		1.528

A(n), В

Рисунок 3. АЧХ заданного периодического сигнала

Θ(ω), рад

Рисунок 4. ФЧХ заданного периодического сигнала

Определим среднеквадратическую ошибку аппроксимации

Норма функции:

Коэффициент ряда Фурье:

C_n=A_n/2

Среднеквадратическая ошибка

В итоге

M=3.853*10^(-9)

Задание 1.1(б) Спектральные характеристики одиночного сигнала.

t,с

Рисунок 5. Одиночный сигнал

Определим спектральную плотность сигнала воспользовавшись комплексной формой прямого преобразования Фурье:

(1.1.15)

Спектральная плотность заданного сигнала имеет вид:

- действительная часть спектральной плотности

- мнимая часть спектральной плотности.

- АЧХ (1.1.16)

- ФЧХ (1.1.17)

Составим таблицу значений S(ω) и θ(ω) в зависимости от ω

Таблица 4

Построим спектры АЧХ и ФЧХ одиночного сигнала в зависимости от ω (рис. 5) и (рис. 6):

Рисунок 6. АЧХ одиночного сигнала

Рисунок 7. ФЧХ одиночного сигнала

Задание 1.2(а) Корреляционная функция одиночного сигнала

S(t- τ)

S(t)

Рисунок 9. Построение корреляционной функции одиночно сигнала

Задание 1.2(б). Корреляционная функция периодического сигнала

Корреляционная функция периодического сигнала определяется выражением:

(1.2.1)

Корреляционная функция периодического сигнала может быть получена из корреляционной функции непериодического сигнала путём деления последней на Т. В данном случае это возможно, так как и наложений за пределами периода нет, тогда

На интервале имеем:

,а на интервале имеем:

Учитывая, что составим таблицу значений для :

Таблица 4

1.3. Дискретизация сигнала по теореме Котельникова.

По теореме Котельникова проведем дискретизацию для одиночного сигнала, определим интервал дискретизации, спектральные характеристики детерминированного сигнала.

В соответствии с теоремой Котельникова сигнал S(t) ограниченный по спектру наивысшей частотой , можно представить рядом

(1.3.1)

где

- интервал между двумя отсчетными точками на оси времени

(с)

(Гц)

Число отсчетов определим по формуле: N = 3

t,c

Таблица 6

Рисунок 11. Дискретизация заданного сигнала по теореме Котельникова во временной области

Спектр входного сигнала

Найдём спектральную плотность дискретизированного сигнала:

(1.3.2)

где

2.1. АМ

Находим АМК.

Общее выражение записывается в виде:

(2.1)

где огибающая А.М.К.

- гармоническое заполнение

(2.2)

- форма нашего сигнала представление в виде тригонометрического комплексного ряда Фурье.

- амплитуда несущего колебания.

находиться по формуле:

(2.3)

где - коэффициент модуляции, для нашего случая

- приращение амплитуды нашего сигнала

Тогда амплитуда несущего колебания будет равна

(2.4)

Записываем огибающую АМК.

Выражение АМК запишется в виде:

-значение несущей частоты

Примем начальную фазу колебания .

Построим график АМК во временной области:

Таблица 7. Огибающая

Рисунок 12. График огибающей амплитудно-модулированного сигнала

t,c

U*Cos(w0*t), B

Рисунок 13. Несущее колебание

Aam(t), В

t, с

Рисунок 14. АМК во временной области

Находим спектральную плотность АМК.

(2.5)

Таблица 8. Спектральная плотность АМК

|Sam(w)|, В²*с

w, рад/с

Рисунок15. Спектральная плотность АМК заданного сигнала

2.2. Корреляционная функция АМ- сигнала

Выражение для корреляционной функции амплитудно-модулированного колебания будет иметь вид:

(2.6)

Из выражения 2.6 можно заметить, что корреляционная функция амплитудно-модулированного колебания (АМК) будет иметь вид корреляционной функции периодичностью сигнала (смотрите п.1.1), с тем отличием, что все значения корреляции будут браться в половинном значении и график корреляции зеркально отразиться относительно оси .

График корреляционной функции АМК будет иметь высокочастотное заполнение вида .

Таблица 9. Корреляционная функция АМК

Изобразим график корреляционной функции АМК:

Bam(τ), В²

τ,с

Рисунок 16. График корреляционной функции АМК заданного сигнала

2.3 ФМК

Находим выражение фазовой модуляции.

(2.7)

S(t)- форма нашего сигнала представленного в виде тригонометрического ряда Фурье.

Тогда запишем выражение для фазовой модуляции.

Запишем выражение для фазомодулированного колебания.

(2.8)

амплитуда несущего колебания.

Находим ЧМ колебании в аналитической форме.

(2.9)

(2.10)

Таким образом, частотная модуляция есть производная от фазовой модуляции.

(2.11)

Из приведенных аналитических выражений можно сделать вывод о том, что индекс модуляции определяется только величиной девиации и модулирующей частотой , причем индекс модуляции не зависит от амплитуды колебания. А зависимость индекса модуляции от модулирующей частоты обратно пропорциональна. Девиация также не зависит от амплитуды и прямо пропорциональна модулирующей частоте.
Задание 3.

Анализ прохождения сигнала через апериодический усилитель

Спектральная плотность входного сигнала:

Проанализируем прохождение сигнала через апериодический усилитель.

Рисунок 17. Апериодический усилитель

Находим коэффициент передачи:

(3.1)

где - параметры усилителя, выбранные из учебника автора И. С. Гоноровского:

; ; ;

Сигнал на выходе апериодического усилителя получим путем перемножения АЧХ тригонометрического ряда Фурье на входе на передаточную функцию самого усилителя.

Построим АЧХ тригонометрического ряда Фурье на входе апериодического усилителя из пункта 1.1.:

Таблица 3.1. АЧХ сигналана входе усилителя.

Построим передаточную функцию апериодического усилителя:

Таблица 3.2. Модуль передаточной функции апериодического усилителя.

Построим АЧХ тригонометрического ряда Фурье на выходе апериодического усилителя:

Таблица 3.3. АЧХ сигнала на выходе усилителя.

Сигнал на входе апериодического усилителя во временной области:

В частотной области

|S(w)|, В*с

w, рад/с

Рисунок 18. АЧХ тригонометрического ряда Фурье на входе апериодического усилителя в частотной области

К(w)

w, рад/с

Рисунок 19. Передаточная функция апериодического усилителя в частотной области

w, рад/с

|Svix(w)|

Рисунок 20. АЧХ сигнала на выходе усилителя

Таблица 3.4. Сигнал на входе усилителя во временной области

Импульсная характеристика апериодического усилителя:

Таблица 3.5. Импульсная характеристика апериодического усилителя

Сигнал на выходе апериодического усилителя во временной области:

Таблица 3.6.Сигнал на выходе апериодического усилителя

S(t), В

t, с

Рисунок 21. Сигнал на входе апериодического усилителя во временной области

t, с

g(t)

Рисунок 22. Импульсная характеристика апериодического усилителя во временной области

S(t), В

t, с

Рисунок 23. Сигнал на выходе апериодического усилителя во временной области

3.2. Проанализируем прохождение амплитуда модулированного сигнала через линейно резонансный усилитель.

Спектральная плотность входного сигнала:

S=20*10^-3

C=10^-7

R_ш=701

R_и=15*10^3

L=2.533*10^-7

Рисунок 24. Линейно-резонансный усилитель

Передаточная функция для ЛРУ имеет вид.

(3.5)

Для получения спектра сигнала на выходе усилителя необходимо перемножить амплитуды спектральных составляющих АМ- сигнала на значения коэффициента на соответствующих частотах.

Модуль коэффициента передачи имеет вид.

(3.8)